Usando o critério da integral, determine a convergência de:
sumk=1^infty ln kk^3 raizk

Passo 1

Vamos analisar a série . O conteúdo que vamos usar aqui é o Critério da Integral, que nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge. Para aplicar esse critério, precisaremos transformar a série em uma função contínua e então calcular sua integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Observamos que sumk=1^infty ln kk^72 é o mesmo que . Então, a série fica:

Passo 3

Agora, aplicamos o Critério da Integral. Esse critério diz que se a integral de f(x) = ln xx^72 de 1 até o infinito converge, então a série também converge. Vamos considerar a função contínua:

Passo 4

Vamos calcular a integral:
integral1^infty ln xx^72 , dx
Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes, onde:

Passo 5

Aplicando a integração por partes:
integral ln xx^72 , dx = u cdot v - integral v cdot du
= ln x cdot (-25 x^-52) - integral (-25 x^-52) cdot 1x dx
= -25 ln xx^52 + 25 integral x^-72 dx

Passo 6

Calculando a segunda integral:
integral x^-72 dx = x^-52-52 = -25 x^-52
Substituindo de volta:
-25 ln xx^52 + 25 (-25 x^-52) = -25 ln xx^52 - 425 1x^52

Passo 7

Agora, avaliamos a integral de 1 até o infinito:
[ -25 ln xx^52 - 425 1x^52 ]1^infty
Quando 0 - ( -425 times 1 ) = 425 :
  • porque o denominador cresce muito mais rápido que o numerador.
Quando :
Portanto:

Resposta

Como a integral converge para , pelo Critério da Integral, a série também converge.

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