Usando o critério da integral, determine a convergência de:
Passo 1
Vamos analisar a série
. O conteúdo que vamos usar aqui é o Critério da Integral, que nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge. Para aplicar esse critério, precisaremos transformar a série em uma função contínua e então calcular sua integral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Observamos que
é o mesmo que
. Então, a série fica:
Passo 3
Agora, aplicamos o Critério da Integral. Esse critério diz que se a integral de
de 1 até o infinito converge, então a série
também converge. Vamos considerar a função contínua:
Passo 4
Vamos calcular a integral:
Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes, onde:
-
⇒ -
⇒
Passo 5
Aplicando a integração por partes:
Passo 6
Calculando a segunda integral:
Substituindo de volta:
Passo 7
Agora, avaliamos a integral de 1 até o infinito:
Quando
:
-
porque o denominador cresce muito mais rápido que o numerador. -
Quando
:
Portanto:
Resposta
Como a integral
converge para
, pelo Critério da Integral, a série
também converge.