Usando o critério da comparação, mostre a convergência de:
Passo 1
Então, galera! A gente vai resolver um exercício que pede para mostrar que a série
converge, usando o critério da comparação. Vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como comparar termos para determinar a convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o critério da comparação. Esse critério nos ajuda a decidir se uma série converge ou diverge comparando-a com outra série que já sabemos o comportamento. Se os termos da nossa série forem menores que uma série que sabemos que converge, então a nossa série também converge.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a nossa série:
. O numerador é
, que cresce, mas bem mais devagar que qualquer potência de
. O denominador é
, que cresce bem rápido. A ideia é comparar isso com uma série mais simples que a gente já conhece.
Passo 4
Vamos comparar com a série
, onde sabemos que essa série converge se
. No nosso caso, o denominador é
, então
, o que significa que
é uma série convergente.
Passo 5
Vamos agora comparar os termos das duas séries. Precisamos mostrar que
para algum número constante
e para todo
grande o suficiente. Sabemos que
cresce mais lentamente que qualquer potência de
, então existe um
tal que
para todo
a partir de algum valor.
Passo 6
Como
e
converge, pelo critério da comparação, a nossa série
também converge.
Resposta
A série
converge pelo critério da comparação.