Usando o critério da comparação, mostre a convergência de:
sumk=1^infty ln kk^3 / 2

Passo 1

Então, galera! A gente vai resolver um exercício que pede para mostrar que a série converge, usando o critério da comparação. Vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como comparar termos para determinar a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o critério da comparação. Esse critério nos ajuda a decidir se uma série converge ou diverge comparando-a com outra série que já sabemos o comportamento. Se os termos da nossa série forem menores que uma série que sabemos que converge, então a nossa série também converge.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a nossa série: . O numerador é , que cresce, mas bem mais devagar que qualquer potência de . O denominador é , que cresce bem rápido. A ideia é comparar isso com uma série mais simples que a gente já conhece.

Passo 4

Vamos comparar com a série , onde sabemos que essa série converge se . No nosso caso, o denominador é , então , o que significa que é uma série convergente.

Passo 5

Vamos agora comparar os termos das duas séries. Precisamos mostrar que para algum número constante e para todo grande o suficiente. Sabemos que cresce mais lentamente que qualquer potência de , então existe um tal que para todo a partir de algum valor.

Passo 6

Como e converge, pelo critério da comparação, a nossa série também converge.

Resposta

A série converge pelo critério da comparação.

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