Usando o critério do termo geral, mostre a divergência de:
Passo 1
Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! O enunciado pede para usarmos o critério do termo geral para mostrar que a série
diverge. Isso envolve entender como os termos da série se comportam conforme
aumenta e aplicar o critério para determinar se a soma total vai para o infinito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o critério do termo geral. Ele diz que se o limite do termo geral
de uma série quando
tende ao infinito não for zero, ou não existir, então a série diverge. Ou seja, para a série
, se
a série não tem soma finita.
Passo 3
Agora, vamos aplicar esse critério à nossa série. O termo geral aqui é:
Precisamos calcular o limite de
quando
vai para o infinito:
Passo 4
Para entender esse limite, vamos analisar
modulo
, já que a função seno tem período
. Ou seja, queremos ver o comportamento de
em relação a múltiplos de 4 (porque
dividido por
dá
).
Observamos que:
- Se
é par ( ), então , que é múltiplo de 4. Assim,
- Se
é ímpar ( ), então , que dá resto 1 quando dividido por 4. Assim,
Passo 5
Então, conforme
aumenta, os termos
alternam entre 0 (quando
é par) e 1 (quando
é ímpar). Isso significa que a sequência dos termos não está se aproximando de zero nem de qualquer outro valor fixo. Na verdade, ela continua alternando entre 0 e 1 sem se estabilizar.
Resposta
Como o limite dos termos não existe (os termos alternam entre 0 e 1), pelo critério do termo geral, a série
diverge.