Usando o critério do termo geral, mostre a divergência de:
sumk=1^infty sen k^2 pi2

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! O enunciado pede para usarmos o critério do termo geral para mostrar que a série
diverge. Isso envolve entender como os termos da série se comportam conforme sumk=1^infty sen(k^2 pi2) aumenta e aplicar o critério para determinar se a soma total vai para o infinito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o critério do termo geral. Ele diz que se o limite do termo geral limk to infty ak neq 0 ou não existir, de uma série quando tende ao infinito não for zero, ou não existir, então a série diverge. Ou seja, para a série , se
ã
a série não tem soma finita.

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse critério à nossa série. O termo geral aqui é:
Precisamos calcular o limite de ak = sen(k^2 pi2) quando limk to infty sen(k^2 pi2) vai para o infinito:

Passo 4

Para entender esse limite, vamos analisar sen(4n^2 pi2) = sen(2n^2pi) = 0 modulo sen((4n^2 + 4n + 1) pi2) = sen(2n^2pi + 2npi + pi2) = sen(pi2) = 1 , já que a função seno tem período . Ou seja, queremos ver o comportamento de em relação a múltiplos de 4 (porque dividido por ).
Observamos que:
  • Se é par ( ), então , que é múltiplo de 4. Assim,
  • Se é ímpar ( ), então , que dá resto 1 quando dividido por 4. Assim,

Passo 5

Então, conforme aumenta, os termos alternam entre 0 (quando é par) e 1 (quando é ímpar). Isso significa que a sequência dos termos não está se aproximando de zero nem de qualquer outro valor fixo. Na verdade, ela continua alternando entre 0 e 1 sem se estabilizar.

Resposta

Como o limite dos termos não existe (os termos alternam entre 0 e 1), pelo critério do termo geral, a série
diverge.

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