Usando a decomposição em fatores primos, determine mdc(a, b) e mmc(a, b) onde a=28 e b=58.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar a decomposição em fatores primos para encontrar o máximo divisor comum (mdc) e o mínimo múltiplo comum (mmc) entre os números 28 e 58. Então, vamos precisar saber como fatorar números em primos e depois usar isso para calcular o mdc e o mmc.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor o número 28 em fatores primos. Fatorar significa quebrar o número em multiplicações de números primos, que são aqueles que só são divisíveis por 1 e por eles mesmos. Então, vamos lá:
28 ÷ 2 = 14
14 ÷ 2 = 7
7 é primo.
Então, a decomposição de 28 é:
28 = 2^2 times 7

Passo 3

Agora, vamos decompor o número 58 em fatores primos. Vamos seguir o mesmo processo:
58 ÷ 2 = 29
29 é primo.
Então, a decomposição de 58 é:
58 = 2 times 29

Passo 4

Para encontrar o máximo divisor comum (mdc), a gente olha para os fatores primos que são comuns aos dois números e pega o menor expoente de cada um. Olhando para as decomposições:
  • Fatores comuns: 2
  • O menor expoente de 2 é 1.
Então:
mdc(28, 58) = 2^1 = 2

Passo 5

Agora, para o mínimo múltiplo comum (mmc), a gente pega todos os fatores primos que aparecem nas decomposições e usa o maior expoente de cada um. Então, temos:
  • 2 com o maior expoente 2
  • 7
  • 29
Multiplicando:
mmc(28, 58) = 2^2 times 7 times 29 = 4 times 7 times 29 = 812

Resposta

O máximo divisor comum (mdc) entre 28 e 58 é 2 e o mínimo múltiplo comum (mmc) é 812.

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