Verifique qual das congruências abaixo tem solução:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação modular pra resolver:
. O conteúdo aqui envolve congruências e divisibilidade. Pra verificar se essa congruência tem solução, a gente precisa saber o máximo divisor comum (MDC) entre os coeficientes da equação e ver se ele divide o termo independente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o MDC de 34 e 98. O MDC é o maior número que divide ambos sem deixar resto. A gente usa o Algoritmo de Euclides pra isso.
Passo 3
Aplicando o Algoritmo de Euclides:
Assim, o MDC(34, 98) = 2.
Passo 4
Agora, vamos verificar se o MDC que encontramos divide o termo independente da congruência, que é 60. Ou seja, precisamos ver se:
Como 60 dividido por 2 dá 30 sem resto, isso significa que 2 divide 60.
Passo 5
Como o MDC(34, 98) = 2 divide 60, isso garante que a congruência
tem solução. Portanto, existe pelo menos um valor de
que satisfaz essa equação.
Resposta
A congruência
tem solução.
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Usando a decomposição em fatores primos, determine
e
onde
e
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Usando a decomposição em fatores primos, determine
e
onde
e
.
Calcule o MDC abaixo usando o algoritmo aprendido em sala de aula e prove usando a definição de MDC:
.
(a) se
é divisível simultaneamente por 3 e 5 , então
é divisível por 15 ;