Verifique qual das congruências abaixo tem solução: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação modular pra resolver: . O conteúdo aqui envolve congruências e divisibilidade. Pra verificar se essa congruência tem solução, a gente precisa saber o máximo divisor comum (MDC) entre os coeficientes da equação e ver se ele divide o termo independente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o MDC de 34 e 98. O MDC é o maior número que divide ambos sem deixar resto. A gente usa o Algoritmo de Euclides pra isso.

Passo 3

Aplicando o Algoritmo de Euclides:
Assim, o MDC(34, 98) = 2.

Passo 4

Agora, vamos verificar se o MDC que encontramos divide o termo independente da congruência, que é 60. Ou seja, precisamos ver se:
Como 60 dividido por 2 dá 30 sem resto, isso significa que 2 divide 60.

Passo 5

Como o MDC(34, 98) = 2 divide 60, isso garante que a congruência tem solução. Portanto, existe pelo menos um valor de que satisfaz essa equação.

Resposta

A congruência tem solução.

Exercícios relacionados

Usando a decomposição em fatores primos, determine e onde e .
Usando a decomposição em fatores primos, determine e onde e .
Calcule o MDC abaixo usando o algoritmo aprendido em sala de aula e prove usando a definição de MDC: .
(a) se é divisível simultaneamente por 3 e 5 , então é divisível por 15 ;