Verifique qual das congruências abaixo tem solução: 34 x equiv 60(bmod 98).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação modular pra resolver: . O conteúdo aqui envolve congruências e divisibilidade. Pra verificar se essa congruência tem solução, a gente precisa saber o máximo divisor comum (MDC) entre os coeficientes da equação e ver se ele divide o termo independente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o MDC de 34 e 98. O MDC é o maior número que divide ambos sem deixar resto. A gente usa o Algoritmo de Euclides pra isso.

Passo 3

Aplicando o Algoritmo de Euclides:
98 div 34 &= 2 (resto 30) 34 div 30 &= 1 (resto 4) 30 div 4 &= 7 (resto 2) 4 div 2 &= 2 (resto 0)
Assim, o MDC(34, 98) = 2.

Passo 4

Agora, vamos verificar se o MDC que encontramos divide o termo independente da congruência, que é 60. Ou seja, precisamos ver se:
2 ,|, 60
Como 60 dividido por 2 dá 30 sem resto, isso significa que 2 divide 60.

Passo 5

Como o MDC(34, 98) = 2 divide 60, isso garante que a congruência tem solução. Portanto, existe pelo menos um valor de que satisfaz essa equação.

Resposta

A congruência tem solução.

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