Usando a decomposição em fatores primos, determine mdc(a, b) e mmc(a, b) onde a=33 e b=24.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o Máximo Divisor Comum (mdc) e o Mínimo Múltiplo Comum (mmc) de dois números, que são 33 e 24. Para isso, vamos usar a decomposição em fatores primos, que é quando quebramos um número em seus fatores primos, ou seja, os números primos que multiplicados dão o número original.

Passo 2

Vamos começar decompondo o número 33 em fatores primos.
33 pode ser dividido por 3 (que é primo):
33 div 3 = 11
11 também é um número primo. Então, a decomposição de 33 em fatores primos é:
33 = 3 times 11

Passo 3

Agora, vamos decompor o número 24 em fatores primos.
24 pode ser dividido por 2:
24 div 2 = 12
12 ainda pode ser dividido por 2:
12 div 2 = 6
6 pode ser dividido novamente por 2:
6 div 2 = 3
E 3 é um número primo. Então, a decomposição de 24 em fatores primos é:
24 = 2 times 2 times 2 times 3 = 2^3 times 3

Passo 4

Com as decomposições em fatores primos dos dois números, vamos encontrar o mdc. O mdc é obtido multiplicando os fatores primos comuns com os menores expoentes.
Os fatores primos de 33 são 3 e 11.
Os fatores primos de 24 são 2 e 3.
O único fator comum é o 3, e o menor expoente é 1. Então:
mdc(33, 24) = 3^1 = 3

Passo 5

Agora, vamos encontrar o mmc. O mmc é obtido multiplicando todos os fatores primos envolvidos, tomando o maior expoente de cada fator.
Os fatores primos envolvidos são 2, 3 e 11.
  • Para o 2, o maior expoente é 3.
  • Para o 3, o maior expoente é 1.
  • Para o 11, o maior expoente é 1.
Então:
mmc(33, 24) = 2^3 times 3^1 times 11^1 = 8 times 3 times 11 = 264

Resposta

O mdc de 33 e 24 é 3, e o mmc desses números é 264.

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