Verifique qual das congruências abaixo tem solução: .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a congruência . Isso faz parte da matéria de Congruências Modulares, que estuda equivalências entre números inteiros com relação a um módulo. Para resolver essa congruência, precisamos verificar se existe algum número que, quando multiplicado por 3 e dividido por 18, deixa resto 6.

Passo 2

Para resolver , vamos usar uma propriedade importante das congruências: a congruência tem solução se e somente se o máximo divisor comum (MDC) de e divide . Aqui, , e .

Passo 3

Calculamos o MDC de 3 e 18:
Agora, verificamos se esse MDC divide :
Sim, 3 divide 6, pois , que é um número inteiro.

Passo 4

Como o MDC de 3 e 18 divide 6, isso significa que a congruência tem solução. Podemos até encontrar a solução geral dividindo todos os termos pelo MDC:
Dividindo os termos por 3:
Isso significa que qualquer número da forma , onde é um inteiro, satisfaz a congruência original.

Resposta

A congruência tem solução.

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