Verifique qual das congruências abaixo tem solução:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a congruência
. Isso faz parte da matéria de Congruências Modulares, que estuda equivalências entre números inteiros com relação a um módulo. Para resolver essa congruência, precisamos verificar se existe algum número
que, quando multiplicado por 3 e dividido por 18, deixa resto 6.
Passo 2
Para resolver
, vamos usar uma propriedade importante das congruências: a congruência
tem solução se e somente se o máximo divisor comum (MDC) de
e
divide
. Aqui,
,
e
.
Passo 3
Calculamos o MDC de 3 e 18:
Agora, verificamos se esse MDC divide
:
Sim, 3 divide 6, pois
, que é um número inteiro.
Passo 4
Como o MDC de 3 e 18 divide 6, isso significa que a congruência
tem solução. Podemos até encontrar a solução geral dividindo todos os termos pelo MDC:
Dividindo os termos por 3:
Isso significa que qualquer número da forma
, onde
é um inteiro, satisfaz a congruência original.
Resposta
A congruência
tem solução.
Exercícios relacionados
Usando a decomposição em fatores primos, determine
e
onde
e
.
Determine o número de divisores positivos do inteiro 25075.
Verifique qual das congruências abaixo tem solução:
.
Calcule o MDC abaixo usando o algoritmo aprendido em sala de aula e prove usando a definição de MDC:
.