Seja
a região do plano limitado pelas curvas
e
.
(16.1) Esboce
e calcule a sua área.
(16.2) Calcule o centróide de
.
(16.3) A região
é girado em torno da reta
formando um sólido
. Calcule o volume de
, usando o teorema de Pappus-Guldin.
(16.1) Esboce
(16.2) Calcule o centróide de
(16.3) A região
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma região
no plano que está limitada por duas curvas:
e
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve geometria analítica e cálculo, especificamente para esboçar a região, encontrar a sua área, determinar o centróide e calcular o volume de um sólido gerado pelo giro dessa região em torno de uma reta usando o teorema de Pappus-Guldin.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se intersectam para entender melhor como a região
está delimitada. Para isso, igualamos as duas equações:
Igualando as duas expressões para
:
Resolvendo essa equação quadrática para encontrar os pontos de interseção.
Passo 3
Vamos resolver a equação:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Agora, encontramos os valores de
para cada
:
Para
:
Para
:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Com os pontos de interseção em mãos, podemos esboçar a região
. A parábola
abre para baixo, e a reta
é decrescente. A região
está entre
e
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a área da região
utilizando a integração. A área
é dada por:
Aqui,
e
, e os limites de integração são
e
.
Calculando:
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Então:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.