Seja R a região do plano limitado pelas curvas y = -x^2 - 3x + 6 e x + y - 3 = 0.
(16.1) Esboce R e calcule a sua área.
(16.2) Calcule o centróide de R.
(16.3) A região R é girado em torno da reta x + y - 3 = 0 formando um sólido D. Calcule o volume de D, usando o teorema de Pappus-Guldin.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma região no plano que está limitada por duas curvas: e . O conteúdo que vamos usar aqui envolve geometria analítica e cálculo, especificamente para esboçar a região, encontrar a sua área, determinar o centróide e calcular o volume de um sólido gerado pelo giro dessa região em torno de uma reta usando o teorema de Pappus-Guldin.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se intersectam para entender melhor como a região está delimitada. Para isso, igualamos as duas equações:
Igualando as duas expressões para :
Resolvendo essa equação quadrática para encontrar os pontos de interseção.

Passo 3

Vamos resolver a equação:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Agora, encontramos os valores de para cada :
Para :
Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Com os pontos de interseção em mãos, podemos esboçar a região . A parábola abre para baixo, e a reta é decrescente. A região está entre e .

Passo 5

Agora, vamos calcular a área da região utilizando a integração. A área é dada por:
Aqui, e , e os limites de integração são e .
Calculando:
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então:

Resposta

A área da região é unidades de área.

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