Usando a definição de derivada de uma função, encontre f'(x) para f(x) = (x - 2) / (x + 3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada de usando a definição de derivada. Isso está no assunto de Cálculo Diferencial, mais especificamente no estudo de derivadas de funções. Vamos precisar entender a definição de derivada e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada de uma função. A derivada de , denotada por , é o limite da razão de variação da função quando o incremento tende a zero. Em fórmula:
Isso significa que vamos calcular essa expressão para a nossa função .

Passo 3

Vamos calcular . Substituímos por na função:
Agora, vamos montar a diferença :

Passo 4

Para simplificar essa expressão, precisamos colocar as frações com o mesmo denominador. O denominador comum será . Então, reescrevemos cada fração:
Subtraindo as duas frações:

Passo 5

Agora, vamos expandir os numeradores:
  1. Expandindo :
Simplificando:
  1. Expandindo :
Simplificando:
Subtraindo os dois resultados:

Passo 6

Agora, nossa expressão para a derivada fica:
Podemos simplificar o que está no numerador e no denominador:

Passo 7

Finalmente, tomando o limite quando tende a zero:

Resposta

A derivada de é:

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