Usando a definição do esférico harmônico Yl^m(theta, phi)=Cm l Pl^m(cos theta) e^i m phi. Explique por que o valor do número quântico m tem que ser tal que m= 0, pm 1, pm 2, cdots. É dizer m só pode ser um número inteiro. Dica: o que acontece se você fizer uma rotação phi phi+2 pi ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para explicar por que o número quântico nos harmônicos esféricos precisa ser um número inteiro, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender como esses harmônicos se comportam quando fazemos uma rotação completa, ou seja, quando aumentamos em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o ângulo azimutal em coordenadas esféricas, variando de a . Quando fazemos uma rotação de para , estamos essencialmente voltando ao ponto de partida, já que e representam o mesmo ponto no espaço.

Passo 3

Agora, olhemos para a parte e^i m (phi + 2pi) = e^i m phi cdot e^i m 2pi da expressão dos harmônicos esféricos. Quando substituímos por , temos:

Passo 4

Queremos que a função e^i m 2pi = 1 retorne ao seu valor original após uma rotação completa de . Portanto, precisamos que:

Passo 5

Sabemos que m 2pi = 2pi k onde k in Z . Para que , a parte imaginária deve ser zero e a parte real deve ser 1. Isso acontece quando é um múltiplo inteiro de , ou seja:

Passo 6

Dividindo ambos os lados por m = k , obtemos:
Isso mostra que deve ser um número inteiro para que a função seja bem definida sob rotações completas.

Resposta

O número quântico deve ser um número inteiro, ou seja, .

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