Usando a definição do esférico harmônico
. Explique por que o valor do número quântico
tem que ser tal que
. É dizer
só pode ser um número inteiro. Dica: o que acontece se você fizer uma rotação
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para explicar por que o número quântico
nos harmônicos esféricos
precisa ser um número inteiro, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender como esses harmônicos se comportam quando fazemos uma rotação completa, ou seja, quando aumentamos
em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o ângulo azimutal em coordenadas esféricas, variando de
a
. Quando fazemos uma rotação de
para
, estamos essencialmente voltando ao ponto de partida, já que
e
representam o mesmo ponto no espaço.
Passo 3
Agora, olhemos para a parte
da expressão dos harmônicos esféricos. Quando substituímos
por
, temos:
Passo 4
Queremos que a função
retorne ao seu valor original após uma rotação completa de
. Portanto, precisamos que:
Passo 5
Sabemos que
. Para que
, a parte imaginária deve ser zero e a parte real deve ser 1. Isso acontece quando
é um múltiplo inteiro de
, ou seja:
Passo 6
Dividindo ambos os lados por
, obtemos:
Isso mostra que
deve ser um número inteiro para que a função
seja bem definida sob rotações completas.
Resposta
O número quântico
deve ser um número inteiro, ou seja,
.