Ao se medir o valor do módulo do momento angular orbital |L| para uma partícula quântica, suponha que se obteve as seguintes respostas: a) |L|=hbar raiz6, b) |L|=hbar raiz8, c) |L|=hbar raiz12, d) |L|=hbar raiz20. Determine quais de estos valores estão certos, e calcule o valor de l correspondente.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício sobre o momento angular orbital na mecânica quântica. A gente vai precisar lembrar da fórmula que relaciona o módulo do momento angular |L| com o número quântico l. Nossa missão aqui é descobrir quais dos valores fornecidos estão corretos e, para cada um deles, encontrar o valor correspondente de l.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula que liga o módulo do momento angular |L| ao número quântico l. A fórmula é:
|L| = hbar raizl(l + 1)
Aqui, hbar é a constante de Planck reduzida e l é um número quântico que pode ser 0, 1, 2, 3, etc.

Passo 3

Nos foram fornecidos quatro possíveis valores para |L|:
a) |L| = hbar raiz6
b) |L| = hbar raiz8
c) |L| = hbar raiz12
d) |L| = hbar raiz20
Vamos verificar quais desses valores podem ser obtidos usando a fórmula que temos. Para cada valor, vamos igualar à fórmula e resolver para l.

Passo 4

Opção a) |L| = hbar raiz6
Igualando à fórmula:
hbar raizl(l + 1) = hbar raiz6
Dividindo os dois lados por hbar:
raizl(l + 1) = raiz6
Elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
l(l + 1) = 6
Agora, vamos encontrar um número inteiro l que satisfaça essa equação:
2(2 + 1) = 2 times 3 = 6
Então, l = 2 é uma solução válida.

Passo 5

Opção b) |L| = hbar raiz8
Igualando à fórmula:
hbar raizl(l + 1) = hbar raiz8
Dividindo por hbar:
raizl(l + 1) = raiz8
Elevando ao quadrado:
l(l + 1) = 8
Vamos testar valores inteiros de l:
Para l = 2:
2 times 3 = 6 (não é 8) ãé
Para l = 3:
3 times 4 = 12 (também não é 8) éãé
Não existe um número inteiro l que satisfaça l(l + 1) = 8, então essa opção está incorreta.

Passo 6

Opção c) |L| = hbar raiz12
Igualando à fórmula:
hbar raizl(l + 1) = hbar raiz12
Dividindo por hbar:
raizl(l + 1) = raiz12
Elevando ao quadrado:
l(l + 1) = 12
Testando valores inteiros:
Para l = 3:
3 times 4 = 12
Então, l = 3 é válido.

Passo 7

Opção d) |L| = hbar raiz20
Igualando à fórmula:
hbar raizl(l + 1) = hbar raiz20
Dividindo por hbar:
raizl(l + 1) = raiz20
Elevando ao quadrado:
l(l + 1) = 20
Testando valores inteiros:
Para l = 4:
4 times 5 = 20
Então, l = 4 é uma solução válida.

Resposta

As opções a) hbar raiz6, c) hbar raiz12 e d) hbar raiz20 estão corretas. Os valores correspondentes de l são:
  • a) l = 2
  • c) l = 3
  • d) l = 4

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