Usando a definição, prove que é contínua em:
a) ;

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: queremos provar, usando a definição, que a função é contínua no ponto . Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como aplicar a definição usando limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto. Em outras palavras:
Vamos aplicar isso para o nosso caso, onde .

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto :
Então, .

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Para resolver isso, vamos separar o limite em duas partes usando as propriedades dos limites.

Passo 5

Primeiro, calculemos o limite de quando se aproxima de :
Em seguida, calculemos o limite de :
Agora, somamos esses limites:

Passo 6

Comparando o limite com o valor da função no ponto, temos:
Como o limite é igual ao valor da função no ponto, isso confirma que a função é contínua em .

Resposta

A função é contínua no ponto , pois .

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Determine o valor dos limites, quando existirem:
b)
Se calcule:
a) ;
Calcular as derivadas das funções dadas abaixo:
a)