Usando a definição, prove que
é contínua em:
a)
;
a)
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: queremos provar, usando a definição, que a função
é contínua no ponto
. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como aplicar a definição usando limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de continuidade. Uma função
é contínua em um ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto. Em outras palavras:
Vamos aplicar isso para o nosso caso, onde
.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto
:
Então,
.
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
:
Para resolver isso, vamos separar o limite em duas partes usando as propriedades dos limites.
Passo 5
Primeiro, calculemos o limite de
quando
se aproxima de
:
Em seguida, calculemos o limite de
:
Agora, somamos esses limites:
Passo 6
Comparando o limite com o valor da função no ponto, temos:
Como o limite é igual ao valor da função no ponto, isso confirma que a função é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua no ponto
, pois
.
Exercícios relacionados
Determine o valor dos limites, quando existirem:
b)
b)
Se
calcule:
a) ;
a)
Calcular as derivadas das funções dadas abaixo:
a)
a)