Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em x0 e em caso afirmativo, determine f'(x0) : f(x) = 2 x^3 + 2 (x0 = 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função é derivável em usando a definição de derivada. A matéria aqui é o cálculo diferencial, especificamente o conceito de derivada pelo limite. Para resolver, vamos precisar aplicar a definição de derivada e calcular o limite correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de em é dada por:
Isso significa que precisamos calcular esse limite para verificar se a derivada existe em e, se existir, determinar o valor de .

Passo 3

Vamos substituir na definição. Primeiro, calculamos :
Vamos expandir :
Portanto:
Agora, temos:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando tende a 0:

Resposta

A função é derivável em e .

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