DEfina conjunto compacto.
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é que você precisa definir o que é um conjunto compacto. Isso está dentro da matéria de Matemática, mais especificamente em Análise ou Topologia. Para entender essa definição, vamos precisar conhecer alguns conceitos básicos como conjuntos abertos, fechados e limitados. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre conjuntos abertos e fechados. Em termos simples:
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Conjunto aberto: É um conjunto onde, para cada ponto dentro dele, você pode desenhar um pequeno “círculo” ao redor desse ponto que ainda está totalmente dentro do conjunto. Por exemplo, em uma linha, o intervalo (0,1) é aberto porque você pode sempre dar uma folhada para não sair desse intervalo.
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Conjunto fechado: É o oposto. Um conjunto fechado contém todos os seus pontos de fronteira. Usando o mesmo exemplo da linha, o intervalo [0,1] é fechado porque inclui os pontos 0 e 1.
Passo 3
Agora, sobre conjuntos limitados. Um conjunto é limitado se todos os seus pontos estão dentro de algum “limite” finito. Por exemplo, na reta dos números, o conjunto [0,1] é limitado porque todos os seus pontos estão entre 0 e 1.
Passo 4
Com esses conceitos em mente, podemos chegar à definição de conjunto compacto. Em espaços como a reta dos números (ou em espaços mais gerais chamados de espaços topológicos), um conjunto compacto tem duas propriedades principais:
- É fechado: Ou seja, inclui todos os seus pontos de fronteira.
- É limitado: Não se estende infinitamente em nenhuma direção.
Passo 5
Existe também outro jeito de ver conjuntos compactos, especialmente em espaços como a reta dos números reais. Isso é conhecido pelo Teorema de Heine-Borel, que diz que em
, um conjunto é compacto se e somente se é fechado e limitado.
Resposta
Um conjunto compacto é aquele que é fechado (contém todos os seus pontos de fronteira) e limitado (todos os seus pontos estão dentro de algum limite finito). Em outras palavras, em espaços como
, um conjunto compacto é exatamente um conjunto que é fechado e limitado.