Calcule as constantes de modo que: f(x) = { (x^2 - a*x + 9) / (x - 3) , x < -3 ; b*x , x = -3 ; 3*x + 1 , x > -3 } seja contínua em x0 = -3

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrar os valores das constantes e de uma função em partes, de modo que ela seja contínua no ponto . A matéria que estamos lidando aqui é continuidade de funções, e vamos precisar entender como verificar se uma função é contínua em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, para que seja contínua em , três condições devem ser verdadeiras:
  1. A função está definida em .
  2. O limite de quando se aproxima de pelo lado esquerdo existe.
  3. O limite de quando se aproxima de pelo lado direito existe.
    Além disso, esses limites devem ser iguais ao valor da função em .

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas condições. Primeiro, a função está definida em como .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de pelo lado esquerdo ( ):
Para simplificar essa expressão, podemos fatorar o numerador ou utilizar a substituição direta se possível. Vamos tentar substituir :

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando se aproxima de pelo lado direito ( ):

Passo 6

Para garantir a continuidade em , esses dois limites devem ser iguais e também iguais ao valor da função em :

Passo 7

Vamos resolver a primeira equação para encontrar :

Passo 8

Agora, resolvemos a segunda equação para encontrar :

Resposta

As constantes que tornam a função contínua em são:

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