Usando derivação implícita, calcule
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação:
O que precisamos encontrar é a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é útil quando
está misturado com
na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de
em relação a
é
. Além disso, quando temos uma função dentro de outra (como
), precisamos usar a regra da cadeia.
Então, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
:
Passo 3
Agora, aplicamos a regra da cadeia no lado esquerdo:
E no lado direito, derivamos termo a termo:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos derivar
usando a regra do produto, porque é o produto de
e
:
Calculando cada derivada:
Então:
Passo 5
Substituindo de volta na equação:
Nosso objetivo é isolar
, então vamos distribuir o
:
Passo 6
Agora, vamos reunir todos os termos que contêm
de um lado e os demais termos do outro:
Fatorando
:
Passo 7
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Verificar a ordem das EQO, e verificar se, as funções ao lado são soluções:
é solução de
?
Usando a derivada de logaritmo, calcule
:
Determine a linearização no ponto
, das seguintes funções:
Calcule aproximadamente: