Usando derivação implícita, calcule y' : tg(x^2 * y^4) = 3x + y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação:
O que precisamos encontrar é a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é útil quando está misturado com na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de em relação a é . Além disso, quando temos uma função dentro de outra (como ), precisamos usar a regra da cadeia.
Então, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a :

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia no lado esquerdo:
E no lado direito, derivamos termo a termo:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos derivar usando a regra do produto, porque é o produto de e :
Calculando cada derivada:
Então:

Passo 5

Substituindo de volta na equação:
Nosso objetivo é isolar , então vamos distribuir o :

Passo 6

Agora, vamos reunir todos os termos que contêm de um lado e os demais termos do outro:
Fatorando :

Passo 7

Finalmente, isolamos :

Resposta

A derivada de em relação a é:

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