Usando a derivada de logaritmo, calcule
:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de
usando a derivada de logaritmo. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial e mais especificamente com derivação de funções que envolvem potências com expoentes variáveis. Para resolver, vamos usar a técnica conhecida como diferenciação logarítmica, que facilita o cálculo quando temos variáveis no expoente.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para simplificar a expressão:
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para a frente, temos:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então usaremos a regra da cadeia no lado esquerdo:
Aqui, diferenciamos o lado direito usando a regra do produto, onde a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Passo 5
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados da equação por
:
Passo 6
Finalmente, lembrando que
, substituímos de volta na equação:
Resposta
A derivada de
é:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas sucessivas, até a ordem
dada:
Resolva os exercícios a seguir:
Verificar a ordem das EQO, e verificar se, as funções ao lado são soluções:
é solução de
?
Usando derivação implícita, calcule
: