Verificar a ordem das EQO, e verificar se, as funções ao lado são soluções: y = e^(2 x) é solução de y'' - 5y' + 6y = 0 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar a ordem da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada e conferir se a função é realmente uma solução dessa equação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais, derivadas e como substituir a função na equação para verificar se ela satisfaz a igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a ordem da equação diferencial. A ordem de uma EDO é determinada pelo maior número de derivadas que aparecem na equação. Olhando para a equação:
Aqui, temos que representa a segunda derivada de , que é a primeira derivada, e que é a função original. O maior número de derivadas é 2, então essa é uma equação diferencial de segunda ordem.

Passo 3

Agora, vamos verificar se é uma solução da equação. Para isso, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de e substituir na equação para ver se a igualdade se mantém.
Primeiro, calculemos :
Em seguida, calculamos :

Passo 4

Agora, substituímos , e na equação original:
Vamos simplificar isso:
Somando os termos semelhantes:

Resposta

Sim, a função é uma solução da equação diferencial .

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Calcule as derivadas sucessivas, até a ordem n dada: y = x * e^x, n = 7
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Determine a linearização no ponto x0 = 0, das seguintes funções: e^(-2 x)