Usando a derivada de logaritmo, calcule f'(x) : f(x) = (x^2)^x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a derivada de uma função que usa logaritmos. A função dada é . Para resolver isso, vamos precisar saber como usar a derivada de logaritmo e aplicar as regras de derivação exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar a derivada tirando o logaritmo natural dos dois lados da equação. Isso ajuda a simplificar a função antes de derivar. Então,
Tirando o logaritmo natural:

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz que . Aplicando isso na nossa equação:
E como , podemos simplificar para:

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que a derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia). Então:
Isso fica:
Aqui, usamos a regra do produto para derivar .

Passo 5

Agora, queremos isolar . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por :
Lembrando que , então substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função é:

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