Usando a derivada de logaritmo, calcule
:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a derivada de uma função que usa logaritmos. A função dada é
. Para resolver isso, vamos precisar saber como usar a derivada de logaritmo e aplicar as regras de derivação exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos facilitar a derivada tirando o logaritmo natural dos dois lados da equação. Isso ajuda a simplificar a função antes de derivar. Então,
Tirando o logaritmo natural:
Passo 3
Agora, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz que
. Aplicando isso na nossa equação:
E como
, podemos simplificar para:
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que a derivada de
em relação a
é
(usando a regra da cadeia). Então:
Isso fica:
Aqui, usamos a regra do produto para derivar
.
Passo 5
Agora, queremos isolar
. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por
:
Lembrando que
, então substituímos de volta:
Resposta
A derivada da função
é:
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quando
tende a 1?
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Integre
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