Usando a derivada de logaritmo, calcule f'(x) : f(x) = x^(x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a derivada da função usando a técnica de derivada de logaritmo. Vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas e logaritmos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação para facilitar a derivação. Isso nos ajuda a lidar com potências complicadas. Então temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o lado direito usando a propriedade dos logaritmos que diz que . Aplicando isso, fica:

Passo 4

Em seguida, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que a derivada de em relação a é . Então:

Passo 5

Agora, vamos derivar o lado direito usando a regra do produto, que diz que a derivada de é . Aqui, e . Então:
Simplificando:

Passo 6

Agora, igualamos os dois lados:
Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada de é:

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Integre f(x, y) = e^(x + y) sobre a região R = {(x, y) | 1 <= x <= 2, x <= y <= 2 x}
Usando a derivada de logaritmo, calcule f'(x) : f(x) = (x^2)^x
Encontre o volume do sólido S delimitado superiormente pelo plano z = y / 6, e inferiormente pelo retângulo 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= 5.
Determine os intervalos em que as funções seguintes são estritamente crescente ou decrescente. y = x^2 - 2 x - 3