Usando derivadas parciais, calcule a incerteza propagada das grandezas físicas nos seguintes casos.
Escreva a resposta no formato
:
i) Dadas a aceleração,
, e a massa,
, obtenha o valor da força,
.
ii) Dada a velocidade,
, e a massa,
, obtenha o valor da energia cinética,
.
iii) Dada a massa,
, e o volume,
, obtenha o valor da densidade,
.
Escreva a resposta no formato
i) Dadas a aceleração,
ii) Dada a velocidade,
iii) Dada a massa,
Passo 1
Resumo do exercício: Precisamos calcular as incertezas propagadas das grandezas físicas usando derivadas parciais em três casos distintos:
i) Força $ F = ma $ com aceleração $ a = (22 \pm 2)\ \mathrm{m/s}^2 $ e massa $ m = (1,3 \pm 0,3)\ \mathrm{kg} $.
ii) Energia cinética $ E = \frac{mv^2}{2} $ com velocidade $ v = (32,01 \pm 0,03)\ \mathrm{m/s} $ e massa $ m = (50,00 \pm 0,05)\ \mathrm{kg} $.
iii) Densidade $ \rho = \frac{m}{V} $ com massa $ m = (23 \pm 1)\ \mathrm{g} $ e volume $ V = (22,3 \pm 0,5)\ \mathrm{cm}^3 $.
Vamos utilizar a propagação de incertezas através das derivadas parciais para cada caso.
Passo 2
Caso i) Cálculo da Força $ F = ma $
Primeiro, calculamos a força multiplicando a massa pela aceleração:
Passo 3
Para encontrar a incerteza propagada $ \Delta F $, usamos a fórmula de propagação de incertezas para multiplicação:
Calculando as frações das incertezas:
Passo 4
Agora, somamos os quadrados das incertezas relativas:
Extraímos a raiz quadrada para obter a incerteza relativa de $ F $:
Finalmente, calculamos a incerteza absoluta $ \Delta F $:
Passo 5
Caso ii) Cálculo da Energia Cinética $ E = \frac{mv^2}{2} $
Primeiro, calculamos a energia cinética substituindo os valores dados:
Passo 6
Para encontrar a incerteza propagada $ \Delta E $, usamos a fórmula de propagação de incertezas para funções de múltiplas variáveis:
Calculando as frações das incertezas:
Passo 7
Agora, aplicamos as incertezas relativas na fórmula:
Extraímos a raiz quadrada para obter a incerteza relativa de $ E $:
Calculando a incerteza absoluta $ \Delta E $:
Passo 8
Caso iii) Cálculo da Densidade $ \rho = \frac{m}{V} $
Primeiro, calculamos a densidade substituindo os valores dados:
Passo 9
Para encontrar a incerteza propagada $ \Delta \rho $, usamos a fórmula de propagação de incertezas para divisão:
Calculando as frações das incertezas:
Passo 10
Agora, somamos os quadrados das incertezas relativas:
Extraímos a raiz quadrada para obter a incerteza relativa de $ \rho $:
Calculando a incerteza absoluta $ \Delta \rho $:
Resposta
i) $ F = 28,6 \pm 7,1\ \mathrm{N} $
ii) $ E = 25616 \pm 53,9\ \mathrm{J} $
iii) $ \rho = 1,032 \pm 0,05\ \mathrm{g/cm}^3 $