Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales: integral 4 x-1(x-1)(x-2) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral usando o método de frações simples. Para isso, precisamos decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar 4x - 1(x - 1)(x - 2) = Ax - 1 + Bx - 2 como uma soma de duas frações simples. Assumimos que:
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de 4x - 1 = A(x - 2) + B(x - 1) e 4x - 1 = A x - 2A + B x - B , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 4x - 1 = (A + B)x - (2A + B) para eliminar as frações:
A + B = 4 (coeficiente de x) -2A - B = -1 (termo constante)
Expandindo os termos à direita:
Juntando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:

Passo 4

Resolvemos o sistema de equações para encontrar -2A - (4 - A) = -1 -2A - 4 + A = -1 -A - 4 = -1 -A = 3 A = -3 e -3 + B = 4 B = 7 :
  1. Da primeira equação:
  2. Substituindo na segunda equação:
  3. Substituindo na primeira equação:

Passo 5

Agora que encontramos 4x - 1(x - 1)(x - 2) = -3x - 1 + 7x - 2 e integral 4x - 1(x - 1)(x - 2) , dx = integral -3x - 1 , dx + integral 7x - 2 , dx , substituímos esses valores na decomposição das frações:
-3 ln|x - 1| + 7 ln|x - 2| + C
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que , então:
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral -3 ln|x - 1| + 7 ln|x - 2| + C é igual a:

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