Passo 1
Vamos resolver a desigualdade
. Esse exercício envolve o conteúdo de razões e desigualdades algébricas. Para resolver, precisaremos manipular frações, encontrar o domínio das expressões e analisar os intervalos onde a desigualdade é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que os denominadores não sejam zero, pois isso tornaria as frações indefinidas. Então, temos que:
Portanto,
e
.
Passo 3
Agora, vamos trazer tudo para um lado da desigualdade para facilitar a comparação:
Para subtrair as frações, precisamos de um denominador comum, que é
.
Passo 4
Reescrevendo as frações com o denominador comum:
Vamos expandir os numeradores:
Passo 5
Subtraindo as duas expressões no numerador:
Então, a desigualdade fica:
Passo 6
Podemos simplificar o numerador:
Então, a desigualdade é:
Como o 2 é positivo, podemos dividir ambos os lados por ele sem mudar a desigualdade:
Passo 7
Agora, identificamos os pontos críticos que fazem o numerador ou denominador serem zero:
Esses pontos dividem a reta real em intervalos que vamos analisar.
Passo 8
Vamos testar os sinais da expressão em cada intervalo determinado pelos pontos críticos:
,
,
, e
.
-
Para
: -
-
-
- Sinal da expressão:
(negativo)
-
-
Para
: -
-
-
- Sinal da expressão:
(positivo)
-
-
Para
: -
-
-
- Sinal da expressão:
(negativo)
-
-
Para
: -
-
-
- Sinal da expressão:
(positivo)
-
Passo 9
A desigualdade é menor ou igual a zero, ou seja, queremos os intervalos onde a expressão é negativa ou zero. Observando os sinais:
- Intervalo
: negativo - Intervalo
: positivo - Intervalo
: negativo - Intervalo
: positivo
Além disso, os pontos onde a expressão é zero são
. Os pontos
e
não estão incluídos pois tornam os denominadores zero.
Resposta
A solução da desigualdade é:
Exercícios relacionados
Usando el método de fracciones simples calcular las siguientes integrales:
Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales:
Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales: