Usando o fator integrante
como método de solução de uma EDO linear, resolva os seguintes problemas: Deseja-se conhecer a curva de resfriamento de um sólido submetido a uma atmosfera cuja temperatura média (
) seja controlada. Inicialmente, o sólido é retirado do forno a uma temperatura inicial
). Após cinco minutos, a temperatura do sólido cai para
de
. Levante a curva de temperatura de resfriamento,
, considerando que a temperatura ambiente controlada,
, seja de
. (
posição referente ao nome do aluno na lista de chamada). Plote o gráfico desta curva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir a curva de resfriamento de um sólido que está sendo resfriado em um ambiente com temperatura constante. A temperatura inicial do sólido é
e, após cinco minutos, ela cai para
de
. A temperatura ambiente,
, é de
. Para resolver isso, vamos usar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear e aplicar o método do fator integrante usando
. Vamos precisar conhecer um pouco sobre as leis de resfriamento de Newton e como resolver EDOs lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a situação usando a Lei de Resfriamento de Newton. Essa lei diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. Matemáticamente, isso é representado por:
Aqui,
é a temperatura do sólido no tempo
,
é a temperatura ambiente, e
é a constante de proporcionalidade positiva que depende das características do sólido e do ambiente.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma padrão para resolver usando o método do fator integrante. A equação pode ser escrita como:
Aqui,
e
. Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é
.
Passo 4
Calculando o fator integrante:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para uma forma que pode ser integrada diretamente.
Passo 5
Observamos que a parte da esquerda da equação agora é a derivada de
. Então podemos escrever:
Agora, integramos ambos os lados em relação ao tempo
:
Passo 6
Integrando, temos:
Onde
é a constante de integração. Agora, resolvemos para
:
Passo 7
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar a constante
.
Primeira condição: no tempo
, a temperatura é
.
Então,
Agora, nossa expressão para
fica:
Passo 8
A segunda condição nos dá que, após cinco minutos, a temperatura é
de
.
Vamos substituir
e
:
Passo 9
Resolvendo para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Então,
Passo 10
Agora que temos
, podemos escrever a expressão completa para a curva de resfriamento:
Onde
é calculado pela expressão acima.
Passo 11
Finalmente, para plotar o gráfico da curva de resfriamento
, você pode usar softwares como Excel, Python (com matplotlib), ou qualquer outra ferramenta de plotagem. Basta substituir os valores de
,
,
, e
na equação encontrada e gerar o gráfico para visualizar como a temperatura do sólido diminui ao longo do tempo até se estabilizar em
.
Resposta
A curva de resfriamento do sólido é dada por:
Onde a constante
é:
Essa função descreve como a temperatura do sólido diminui ao longo do tempo até atingir a temperatura ambiente de
.
Exercícios relacionados
Usando o fator integrante
como método de solução de uma EDO linear, resolva os seguintes problemas: Seja um circuito LR, alimentado por uma fonte de tensão de 12 V. Se a indutância é de
henry e se a resistência for de 1 n ohms, encontre a equação que calcula a corrente,
, plotando esta curva. (
posição referente ao nome do aluno na lista de chamada).
Usando o fator integrante
como método de solução de uma EDO linear, resolva os seguintes problemas: Uma cultura de bactérias possui, inicialmente uma população
, o número medido de bactérias passa a ser de
, com
posição referente ao nome do aluno na lista de chamada. Se a taxa de crescimento for proporcional ao número de bactérias no instante
, determine o tempo necessário para multiplicar o número de bactérias por um fator de (n+2).
Uma carga pontual de
está no centro de uma superfície gaussiana esférica de raio igual a 15 cm . Qual é o fluxo elétrico através da superfície? Se a esfera tivesse raio de 20 cm , qual seria o valor do fluxo elétrico na sua superfície?
Usando o fator integrante
como método de solução de uma EDO linear, resolva os seguintes problemas: No reator regenerador de Chernobyl ocorria a conversão de urânio 238 relativamente estável no isótopo plutônio 239. Após 15 anos transcorridos do acidente determinou-se que
da quantidade inicial,
, de plutônio desintegrou-se. Ache a meia-vida desse isótopo se a taxa de desintegração for proporcional à quantidade remanescente. (
posição referente ao nome do aluno na lista de chamada).