Usando o fator integrante e^integral P(t) d t como método de solução de uma EDO linear, resolva os seguintes problemas: Deseja-se conhecer a curva de resfriamento de um sólido submetido a uma atmosfera cuja temperatura média ( Tm ) seja controlada. Inicialmente, o sólido é retirado do forno a uma temperatura inicial (T0=n 00^circ C ). Após cinco minutos, a temperatura do sólido cai para 67 % de T0. Levante a curva de temperatura de resfriamento, T(t), considerando que a temperatura ambiente controlada, Tm, seja de 28^circ C. ( n= posição referente ao nome do aluno na lista de chamada). Plote o gráfico desta curva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir a curva de resfriamento de um sólido que está sendo resfriado em um ambiente com temperatura constante. A temperatura inicial do sólido é T0 = n00^circ C e, após cinco minutos, ela cai para 67% de T0. A temperatura ambiente, Tm, é de 28^circ C. Para resolver isso, vamos usar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear e aplicar o método do fator integrante usando e^integral P(t) dt. Vamos precisar conhecer um pouco sobre as leis de resfriamento de Newton e como resolver EDOs lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a situação usando a Lei de Resfriamento de Newton. Essa lei diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. Matemáticamente, isso é representado por:
dTdt = -k(T - Tm)
Aqui, T(t) é a temperatura do sólido no tempo t, Tm é a temperatura ambiente, e k é a constante de proporcionalidade positiva que depende das características do sólido e do ambiente.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma padrão para resolver usando o método do fator integrante. A equação pode ser escrita como:
dTdt + kT = kTm
Aqui, P(t) = k e Q(t) = kTm. Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é e^integral P(t) dt.

Passo 4

Calculando o fator integrante:
mu(t) = e^integral k , dt = e^kt
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^kt dTdt + ke^kt T = ke^kt Tm
Isso simplifica a equação para uma forma que pode ser integrada diretamente.

Passo 5

Observamos que a parte da esquerda da equação agora é a derivada de T cdot e^kt. Então podemos escrever:
ddt ( T cdot e^kt ) = ke^kt Tm
Agora, integramos ambos os lados em relação ao tempo t:
integral ddt ( T cdot e^kt ) dt = integral ke^kt Tm , dt

Passo 6

Integrando, temos:
T cdot e^kt = Tm e^kt + C
Onde C é a constante de integração. Agora, resolvemos para T(t):
T(t) = Tm + C e^-kt

Passo 7

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar a constante C.
Primeira condição: no tempo t = 0, a temperatura é T0.
T(0) = Tm + C e^0 Rightarrow T0 = Tm + C
Então,
C = T0 - Tm
Agora, nossa expressão para T(t) fica:
T(t) = Tm + (T0 - Tm) e^-kt

Passo 8

A segunda condição nos dá que, após cinco minutos, a temperatura é 67% de T0.
T(5) = 0.67 T0 = Tm + (T0 - Tm) e^-5k
Vamos substituir Tm = 28^circ C e T0 = n00^circ C:
0.67 n00 = 28 + (n00 - 28) e^-5k

Passo 9

Resolvendo para k:
0.67 n00 - 28 = (n00 - 28) e^-5k
Dividindo ambos os lados por (n00 - 28):
0.67 n00 - 28n00 - 28 = e^-5k
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
ln ( 0.67 n00 - 28n00 - 28 ) = -5k
Então,
k = -15 ln ( 0.67 n00 - 28n00 - 28 )

Passo 10

Agora que temos k, podemos escrever a expressão completa para a curva de resfriamento:
T(t) = 28 + (n00 - 28) e^-kt
Onde k é calculado pela expressão acima.

Passo 11

Finalmente, para plotar o gráfico da curva de resfriamento T(t), você pode usar softwares como Excel, Python (com matplotlib), ou qualquer outra ferramenta de plotagem. Basta substituir os valores de n, T0, Tm, e k na equação encontrada e gerar o gráfico para visualizar como a temperatura do sólido diminui ao longo do tempo até se estabilizar em 28^circ C.

Resposta

A curva de resfriamento do sólido é dada por:
T(t) = 28 + (n00 - 28) e^-kt
Onde a constante k é:
k = -15 ln ( 0.67 n00 - 28n00 - 28 )
Essa função descreve como a temperatura do sólido diminui ao longo do tempo até atingir a temperatura ambiente de 28^circ C.

Exercícios relacionados