Usando o fator integrante como método de solução de uma EDO linear, resolva os seguintes problemas: Deseja-se conhecer a curva de resfriamento de um sólido submetido a uma atmosfera cuja temperatura média ( ) seja controlada. Inicialmente, o sólido é retirado do forno a uma temperatura inicial ). Após cinco minutos, a temperatura do sólido cai para de . Levante a curva de temperatura de resfriamento, , considerando que a temperatura ambiente controlada, , seja de . ( posição referente ao nome do aluno na lista de chamada). Plote o gráfico desta curva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir a curva de resfriamento de um sólido que está sendo resfriado em um ambiente com temperatura constante. A temperatura inicial do sólido é e, após cinco minutos, ela cai para de . A temperatura ambiente, , é de . Para resolver isso, vamos usar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear e aplicar o método do fator integrante usando . Vamos precisar conhecer um pouco sobre as leis de resfriamento de Newton e como resolver EDOs lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a situação usando a Lei de Resfriamento de Newton. Essa lei diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. Matemáticamente, isso é representado por:
Aqui, é a temperatura do sólido no tempo , é a temperatura ambiente, e é a constante de proporcionalidade positiva que depende das características do sólido e do ambiente.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma padrão para resolver usando o método do fator integrante. A equação pode ser escrita como:
Aqui, e . Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é .

Passo 4

Calculando o fator integrante:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para uma forma que pode ser integrada diretamente.

Passo 5

Observamos que a parte da esquerda da equação agora é a derivada de . Então podemos escrever:
Agora, integramos ambos os lados em relação ao tempo :

Passo 6

Integrando, temos:
Onde é a constante de integração. Agora, resolvemos para :

Passo 7

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar a constante .
Primeira condição: no tempo , a temperatura é .
Então,
Agora, nossa expressão para fica:

Passo 8

A segunda condição nos dá que, após cinco minutos, a temperatura é de .
Vamos substituir e :

Passo 9

Resolvendo para :
Dividindo ambos os lados por :
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Então,

Passo 10

Agora que temos , podemos escrever a expressão completa para a curva de resfriamento:
Onde é calculado pela expressão acima.

Passo 11

Finalmente, para plotar o gráfico da curva de resfriamento , você pode usar softwares como Excel, Python (com matplotlib), ou qualquer outra ferramenta de plotagem. Basta substituir os valores de , , , e na equação encontrada e gerar o gráfico para visualizar como a temperatura do sólido diminui ao longo do tempo até se estabilizar em .

Resposta

A curva de resfriamento do sólido é dada por:
Onde a constante é:
Essa função descreve como a temperatura do sólido diminui ao longo do tempo até atingir a temperatura ambiente de .

Exercícios relacionados

Usando o fator integrante como método de solução de uma EDO linear, resolva os seguintes problemas: Seja um circuito LR, alimentado por uma fonte de tensão de 12 V. Se a indutância é de henry e se a resistência for de 1 n ohms, encontre a equação que calcula a corrente, , plotando esta curva. ( posição referente ao nome do aluno na lista de chamada).
Usando o fator integrante como método de solução de uma EDO linear, resolva os seguintes problemas: Uma cultura de bactérias possui, inicialmente uma população , o número medido de bactérias passa a ser de , com posição referente ao nome do aluno na lista de chamada. Se a taxa de crescimento for proporcional ao número de bactérias no instante , determine o tempo necessário para multiplicar o número de bactérias por um fator de (n+2).
Uma carga pontual de está no centro de uma superfície gaussiana esférica de raio igual a 15 cm . Qual é o fluxo elétrico através da superfície? Se a esfera tivesse raio de 20 cm , qual seria o valor do fluxo elétrico na sua superfície?
Usando o fator integrante como método de solução de uma EDO linear, resolva os seguintes problemas: No reator regenerador de Chernobyl ocorria a conversão de urânio 238 relativamente estável no isótopo plutônio 239. Após 15 anos transcorridos do acidente determinou-se que da quantidade inicial, , de plutônio desintegrou-se. Ache a meia-vida desse isótopo se a taxa de desintegração for proporcional à quantidade remanescente. ( posição referente ao nome do aluno na lista de chamada).