Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem um sistema de equações lineares representado por , onde:
A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente determinantes, solução de sistemas lineares e posto de matrizes. Vamos precisar calcular o determinante da matriz , analisar se o sistema tem solução sem resolver, e comparar os postos da matriz e da matriz aumentada .
Passo 2
Parte (a): Calcular
Primeiro, vamos identificar a matriz :
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vamos usar a regra de Sarrus aqui.
Substituindo os valores:
Calculando cada parte:
Passo 3
Parte (b): O sistema tem solução?
Para saber se o sistema tem solução sem resolver, podemos usar o teorema de Rouché-Capelli, que diz que o sistema tem solução se e somente se o posto da matriz for igual ao posto da matriz aumentada .
No caso, como , isso significa que o posto da matriz é menor que 3. Também, já que todas as equações tem o lado direito igual a zero, o vetor é o vetor nulo.
Portanto, o sistema homogêneo sempre tem pelo menos a solução trivial (). Além disso, como , o sistema pode ter infinitas soluções.