Seja A x=b dado por lx1+x2+x3=0 x1-x2-x3=0 2 x1+x2+x3=0.
(a) Calcule det(A).
(b) A x=b tem solução? Justifique sem resolver o sistema.
© O que podemos dizer a respeito de posto( A) e posto( [llA & b]) ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem um sistema de equações lineares representado por x1 + x2 + x3 = 0 x1 - x2 - x3 = 0 2x1 + x2 + x3 = 0 , onde:
A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente determinantes, solução de sistemas lineares e posto de matrizes. Vamos precisar calcular o determinante da matriz , analisar se o sistema tem solução sem resolver, e comparar os postos da matriz e da matriz aumentada .

Passo 2

Parte (a): Calcular A = 1 & 1 & 1 1 & -1 & -1 2 & 1 & 1
Primeiro, vamos identificar a matriz det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) :
det(A) = 1((-1)(1) - (-1)(1)) - 1(1cdot1 - (-1)cdot2) + 1(1cdot1 - (-1)cdot2)
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vamos usar a regra de Sarrus aqui.
det(A) = 1(-1 + 1) - 1(1 + 2) + 1(1 + 2) = 1(0) - 1(3) + 1(3) = 0 - 3 + 3 = 0
Substituindo os valores:
Calculando cada parte:

Passo 3

Parte (b): O sistema tem solução?
Para saber se o sistema tem solução sem resolver, podemos usar o teorema de Rouché-Capelli, que diz que o sistema tem solução se e somente se o posto da matriz for igual ao posto da matriz aumentada .
No caso, como , isso significa que o posto da matriz é menor que 3. Também, já que todas as equações tem o lado direito igual a zero, o vetor é o vetor nulo.
Portanto, o sistema homogêneo sempre tem pelo menos a solução trivial ( ). Além disso, como , o sistema pode ter infinitas soluções.

Passo 4

Parte ©: Posto de 1 1 2 , 1 -1 1 , 1 -1 1 e posto de [A ,|, b] = 1 & 1 & 1 & 0 1 & -1 & -1 & 0 2 & 1 & 1 & 0
Como mencionado anteriormente, o posto de uma matriz é o maior número de linhas ou colunas linearmente independentes.
Sabemos que , então o posto de é menor que 3. Vamos verificar se as colunas são linearmente independentes.
Ao observar as colunas de :
Vemos que a segunda e a terceira colunas são iguais, o que já indica que elas não são linearmente independentes. Portanto, o posto de é 2.
A matriz aumentada é:
Como adicionamos uma coluna de zeros, o posto dessa matriz também é 2, igual ao posto de .

Resposta

(a) .
(b) Sim, o sistema tem solução, pois o posto de é igual ao posto da matriz aumentada.
© O posto de é 2 e o posto de também é 2.

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