Seja dado por .
(a) Calcule .
(b) tem solução? Justifique sem resolver o sistema.
© O que podemos dizer a respeito de posto( e posto( ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem um sistema de equações lineares representado por , onde:
A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente determinantes, solução de sistemas lineares e posto de matrizes. Vamos precisar calcular o determinante da matriz , analisar se o sistema tem solução sem resolver, e comparar os postos da matriz e da matriz aumentada .

Passo 2

Parte (a): Calcular
Primeiro, vamos identificar a matriz :
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vamos usar a regra de Sarrus aqui.
Substituindo os valores:
Calculando cada parte:

Passo 3

Parte (b): O sistema tem solução?
Para saber se o sistema tem solução sem resolver, podemos usar o teorema de Rouché-Capelli, que diz que o sistema tem solução se e somente se o posto da matriz for igual ao posto da matriz aumentada .
No caso, como , isso significa que o posto da matriz é menor que 3. Também, já que todas as equações tem o lado direito igual a zero, o vetor é o vetor nulo.
Portanto, o sistema homogêneo sempre tem pelo menos a solução trivial ( ). Além disso, como , o sistema pode ter infinitas soluções.

Passo 4

Parte ©: Posto de e posto de
Como mencionado anteriormente, o posto de uma matriz é o maior número de linhas ou colunas linearmente independentes.
Sabemos que , então o posto de é menor que 3. Vamos verificar se as colunas são linearmente independentes.
Ao observar as colunas de :
Vemos que a segunda e a terceira colunas são iguais, o que já indica que elas não são linearmente independentes. Portanto, o posto de é 2.
A matriz aumentada é:
Como adicionamos uma coluna de zeros, o posto dessa matriz também é 2, igual ao posto de .

Resposta

(a) .
(b) Sim, o sistema tem solução, pois o posto de é igual ao posto da matriz aumentada.
© O posto de é 2 e o posto de também é 2.

Exercícios relacionados

(PUC-RJ)O valor de , onde é a unidade imaginária, é de:
B) 64
Determine três pontos distintos sobre o plano para
(b) .
Determinar equações do plano que
© Passa pelo ponto e é perpendicular à reta : .
Usando a fórmula geral em termos dos cofatores, encontre a matriz inversa da matriz .