Verifique quais dos seguintes os conjuntos de vetores abaixo são linearmente independentes. Use o método de Gauss-Jordan para resolver os sistemas de equações.
a.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que está acontecendo aqui. Temos um conjunto de vetores no espaço de seis dimensões () e precisamos descobrir se esses vetores são linearmente independentes. Para isso, vamos usar o método de Gauss-Jordan, que é uma técnica para resolver sistemas de equações e pode nos ajudar a verificar a independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Basicamente, isso quer dizer que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Se conseguirmos encontrar uma combinação onde isso é possível, os vetores são dependentes; caso contrário, eles são independentes.
Passo 3
Para verificar isso com o método de Gauss-Jordan, vamos montar uma matriz onde cada coluna representa um dos vetores fornecidos. No nosso caso, temos os vetores A = 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & m1 2 & 1 & 1 & 2 & 1 & m2 1 & 0 & 7 & 3 & 1 & m3 1 & 1 & 1 & 4 & 1 & m4 1 & 1 & 1 & 5 & 1 & m5 1 & 0 & 11 & 6 & 1 & m6 até :
Passo 4
Agora, aplicamos o método de Gauss-Jordan para reduzir essa matriz a uma forma escalonada reduzida por linhas. O objetivo é ver se a única solução para o sistema homogêneo (onde todos os termos independentes são zero) é a trivial, ou seja, todos os coeficientes são zero. Se for, os vetores são independentes; caso contrário, são dependentes.
Passo 5
Vamos começar a eliminação:
Primeira coluna: Já temos um 1 na posição (1,1). Usamos esse 1 para zerar os demais elementos da primeira coluna.
Segunda coluna: Após zerar a primeira coluna, procuramos um pivô (um número diferente de zero) na segunda coluna.
Repetimos o processo: Continuamos esse processo para cada coluna subsequente, sempre buscando um pivô e usando-o para zerar os números abaixo e acima dele.
Passo 6
Durante a eliminação, se encontrarmos uma linha onde todos os coeficientes são zero, exceto o termo independente (que também será zero no caso homogêneo), isso indica que existe uma combinação não trivial dos vetores que resulta no vetor zero, significando que os vetores são linearmente dependentes.
Passo 7
Após realizar todas as etapas de Gauss-Jordan, se conseguirmos reduzir a matriz de forma que cada coluna tenha um pivô e não restem linhas de zeros, isso significa que os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Após aplicar o método de Gauss-Jordan, se a matriz reduzida mostrará que cada vetor adiciona uma nova dimensão sem redundância, então os vetores e são linearmente independentes. Caso contrário, se alguma coluna não puder ser pivotada, os vetores são linearmente dependentes.