Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
é múltiplo de 9 para
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede pra gente provar, usando indução matemática, que a expressão
é múltiplo de 9 para todo número natural
. Vamos precisar entender como funciona a indução matemática e aplicar isso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a base da indução, ou seja, quando
. Substituindo na expressão:
81 é múltiplo de 9, porque
. Então, a base está certa.
Passo 3
Agora, vamos fazer a hipótese de indução. Vamos supor que para algum
, a expressão
seja múltiplo de 9. Isso significa que existe um número inteiro
tal que:
Passo 4
Nosso objetivo é mostrar que a expressão também vale para
, ou seja, que
é múltiplo de 9. Vamos calcular essa expressão:
Passo 5
A gente sabe que
pela hipótese de indução. Mas, pra facilitar, vamos reescrever a expressão anterior:
Substituindo pela hipótese de indução
:
Passo 6
Agora, vamos fatorar a expressão:
Isso mostra que
é múltiplo de 9, já que está escrito como 9 vezes um número inteiro.
Resposta
Portanto, por indução matemática, para todo
, a expressão
é múltiplo de 9.
Exercícios relacionados
Encontre o valor exato de cada expressão
(d)
(d)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
é divisível por 3 , para
.
Determine f e g , dado que
(b)
(b)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: A Torre de Hanoi é um jogo que consiste em um tabuleito com 3 hastes (A, B e C) e uma coleção de
discos de tamanhos (raios) diferentes. Os discos têm orifícios perfurados em seus centros, de modo a poderem encaixar os discos nas hastes do tabuleiro. Inicialmente, todos os discos estão na haste A , dispostos por tamanho (do maior, na base, para o menor, no topo). O objetivo é transferir todos os discos da haste A para haste B com o menor número possível de movimentos. Cada movimento consiste em tirar o disco de cima de uma das hastes e colocá-lo em outra haste, com a condição de não se colocar um disco maior em cima de um disco menor. Mostre que é possível, com
movimentos, transferir todos os discos da haste A para haste B.