Usando indução, mostre as seguintes afirmações: é múltiplo de 9 para .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede pra gente provar, usando indução matemática, que a expressão é múltiplo de 9 para todo número natural . Vamos precisar entender como funciona a indução matemática e aplicar isso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a base da indução, ou seja, quando . Substituindo na expressão:
81 é múltiplo de 9, porque . Então, a base está certa.

Passo 3

Agora, vamos fazer a hipótese de indução. Vamos supor que para algum , a expressão seja múltiplo de 9. Isso significa que existe um número inteiro tal que:

Passo 4

Nosso objetivo é mostrar que a expressão também vale para , ou seja, que é múltiplo de 9. Vamos calcular essa expressão:

Passo 5

A gente sabe que pela hipótese de indução. Mas, pra facilitar, vamos reescrever a expressão anterior:
Substituindo pela hipótese de indução :

Passo 6

Agora, vamos fatorar a expressão:
Isso mostra que é múltiplo de 9, já que está escrito como 9 vezes um número inteiro.

Resposta

Portanto, por indução matemática, para todo , a expressão é múltiplo de 9.

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