Usando indução, mostre as seguintes afirmações: é divisível por 3 , para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a expressão é divisível por 3 para todo número inteiro maior ou igual a 1. Vamos usar indução matemática, que é um método que ajuda a provar afirmações para todos os números naturais começando de um ponto inicial, geralmente o 1 ou o 0. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma expressão ser divisível por 3 e como usar a indução para provar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base, que é quando . Substituindo na expressão:
Como 3 é divisível por 3, o caso base está ok. Isso significa que a afirmação é verdadeira para .

Passo 3

Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número inteiro . Ou seja, vamos supor que:
éí
Isso significa que existe um número inteiro tal que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Nosso próximo passo é mostrar que, se a hipótese de indução é verdadeira para , então também �� verdadeira para . Ou seja, precisamos provar que:
éí
Vamos expandir :
Então, somando os termos:

Passo 5

Vamos reescrever a expressão obtida usando a hipótese de indução:
Sabemos, pela hipótese de indução, que . Então substituindo:
Isso mostra que é múltiplo de 3, ou seja, é divisível por 3.

Resposta

Portanto, por indução matemática, mostramos que é divisível por 3 para todo número inteiro .

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Usando indução, mostre as seguintes afirmações: é divisível por 3 , para .
Use as propriedades de potência para reescrever e simplificar a expressão:
(b)
Encontre o valor exato de cada expressão
(d)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: é múltiplo de 9 para .