Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
é divisível por 3 , para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a expressão
é divisível por 3 para todo número inteiro
maior ou igual a 1. Vamos usar indução matemática, que é um método que ajuda a provar afirmações para todos os números naturais começando de um ponto inicial, geralmente o 1 ou o 0. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma expressão ser divisível por 3 e como usar a indução para provar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o caso base, que é quando
. Substituindo na expressão:
Como 3 é divisível por 3, o caso base está ok. Isso significa que a afirmação é verdadeira para
.
Passo 3
Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número inteiro
. Ou seja, vamos supor que:
Isso significa que existe um número inteiro
tal que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
Nosso próximo passo é mostrar que, se a hipótese de indução é verdadeira para
, então também �� verdadeira para
. Ou seja, precisamos provar que:
Vamos expandir
:
Então, somando os termos:
Passo 5
Vamos reescrever a expressão obtida usando a hipótese de indução:
Sabemos, pela hipótese de indução, que
. Então substituindo:
Isso mostra que
é múltiplo de 3, ou seja, é divisível por 3.
Resposta
Portanto, por indução matemática, mostramos que
é divisível por 3 para todo número inteiro
.
Exercícios relacionados
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
é divisível por 3 , para
.
Use as propriedades de potência para reescrever e simplificar a expressão:
(b)
(b)
Encontre o valor exato de cada expressão
(d)
(d)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
é múltiplo de 9 para
.