Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar, usando indução matemática, que a soma dos termos da forma de até é igual a . Basicamente, queremos mostrar que:
Para isso, vamos usar o método da indução matemática, que tem dois passos principais: a base da indução e o passo indutivo.

Passo 2

Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para .
Substituindo na soma:
E substituindo na expressão :
Como ambos os lados são iguais, a base da indução está confirmada.

Passo 3

Passo Indutivo: Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum , ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para , então ela também é verdadeira para . Ou seja, devemos provar que:
Simplificando o último termo:
Então, a soma para fica:

Passo 5

Vamos somar as frações:
Multiplicando por :
Então, o numerador fica:
Portanto, temos:

Passo 6

Vamos fatorar o numerador . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão .
Esses números são e , então:
Substituindo de volta:

Passo 7

Então, mostramos que:
Ou seja:
Isso confirma que, se a afirmação é verdadeira para , ela também é verdadeira para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, a afirmação:
é verdadeira para todo .

Exercícios relacionados

Determine uma equação da reta que satisfaça as condições dadas a seguir:
(e) Intercepta o eixo em 1 e intercepta o eixo em -3 .
Obtenha a equação cartesiana das seguintes curvas: ;
Resolva as seguintes equações e inaquações modulares
(i)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .