Usando indução, mostre as seguintes afirmações: 1/(1*4) + 1/(4*7) + 1/(7*10) + ... + 1/((3n-2)*(3n+1)) = n/(3n+1) para n ≥ 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar, usando indução matemática, que a soma dos termos da forma de k=1 até é igual a . Basicamente, queremos mostrar que:
Para isso, vamos usar o método da indução matemática, que tem dois passos principais: a base da indução e o passo indutivo.

Passo 2

Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para n = 1.
Substituindo n = 1 na soma:
E substituindo n = 1 na expressão :
Como ambos os lados são iguais, a base da indução está confirmada.

Passo 3

Passo Indutivo: Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum , ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para , então ela também é verdadeira para . Ou seja, devemos provar que:
Simplificando o último termo:
Então, a soma para fica:

Passo 5

Vamos somar as frações:
Multiplicando k por :
Então, o numerador fica:
Portanto, temos:

Passo 6

Vamos fatorar o numerador . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão .
Esses números são e k, então:
Substituindo de volta:

Passo 7

Então, mostramos que:
Ou seja:
Isso confirma que, se a afirmação é verdadeira para , ela também é verdadeira para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, a afirmação:
é verdadeira para todo n ≥ 1.

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