Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar, usando indução matemática, que a soma dos termos da forma de até é igual a . Basicamente, queremos mostrar que:
Para isso, vamos usar o método da indução matemática, que tem dois passos principais: a base da indução e o passo indutivo.
Passo 2
Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para .
Substituindo na soma:
E substituindo na expressão :
Como ambos os lados são iguais, a base da indução está confirmada.
Passo 3
Passo Indutivo: Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum , ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
Precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para , então ela também é verdadeira para . Ou seja, devemos provar que:
Simplificando o último termo:
Então, a soma para fica:
Passo 5
Vamos somar as frações:
Multiplicando por :
Então, o numerador fica:
Portanto, temos:
Passo 6
Vamos fatorar o numerador . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão .
Esses números são e , então:
Substituindo de volta:
Passo 7
Então, mostramos que:
Ou seja:
Isso confirma que, se a afirmação é verdadeira para , ela também é verdadeira para .