Determine uma equação da reta que satisfaça as condições dadas a seguir:
(e) Intercepta o eixo em 1 e intercepta o eixo em -3 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar a equação de uma reta que intercepta o eixo em 1 e o eixo em -3. Isso está relacionado ao estudo das equações lineares, onde vamos precisar entender como usar as interseções com os eixos para montar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os pontos onde a reta intercepta os eixos são chamados de interceptos. O intercepto com o eixo ocorre onde , e o intercepto com o eixo ocorre onde .
Neste caso:
  • Intercepto com o eixo :
  • Intercepto com o eixo :

Passo 3

Agora, para encontrar a equação da reta, precisamos determinar o coeficiente angular (ou inclinação) da reta, que é a inclinação da reta em relação ao eixo . A fórmula para calcular o coeficiente angular entre dois pontos e é:
Aqui, nossos pontos são e .

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
Então, o coeficiente angular é 3.

Passo 5

Com o coeficiente angular e o intercepto com o eixo , podemos usar a forma linear da equação da reta:
Onde:
  • é o coeficiente angular.
  • é o intercepto com o eixo .
Sabemos que e .

Resposta

A equação da reta é:

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Obtenha a equação cartesiana das seguintes curvas: ;
Uma hipociclóide é a curva descrita pelo movimento de um ponto , de um círculo de raio , que gira dentro de um círculo fixo de raio .A razão entre os raios, quando for um número inteiro, nos informa a quantidade de pétalas dessa figura. Chamam-se de cúspides os pontos onde o ponto de tangência dos dois círculos é o ponto . Considerando um sistema de coordenadas cartesianas com origem de coordenadas no centro da superfície circular de raio a, a equação paramétrica deste ponto é a seguinte:
Os cúspides ocorrem quando
Um caso particular muito usado é o da hipocicloide de quatro cúspides (tetracúspides), também conhecida como astroide. Ela é obtida fazendo , Daí, obtemos que
Assim, uma equação vetorial da astroide é
Eliminando o parâmetro , obtemos a equação cartesiana da astroide que é dada por
Sabendo dessas informações, encontre uma equação vetorial da hipocicloide .
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .
Resolva as seguintes equações e inaquações modulares
(i)