Obtenha a equação cartesiana das seguintes curvas: ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa transformar uma equação vetorial da curva, que tá em função do parâmetro , numa equação cartesiana que relaciona e diretamente. Isso envolve usar um pouquinho de álgebra para eliminar o parâmetro.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes e da equação vetorial. A equação dada é:
Então, temos:

Passo 3

Agora, a ideia é expressar em termos de a partir da primeira equação e substituir na segunda. Da equação , podemos isolar :

Passo 4

Com expresso em função de , substituímos esse valor na equação de :

Passo 5

Vamos expandir e simplificar a expressão:

Passo 6

Simplificando os termos:

Resposta

A equação cartesiana da curva é .

Exercícios relacionados

Uma hipociclóide é a curva descrita pelo movimento de um ponto , de um círculo de raio , que gira dentro de um círculo fixo de raio .A razão entre os raios, quando for um número inteiro, nos informa a quantidade de pétalas dessa figura. Chamam-se de cúspides os pontos onde o ponto de tangência dos dois círculos é o ponto . Considerando um sistema de coordenadas cartesianas com origem de coordenadas no centro da superfície circular de raio a, a equação paramétrica deste ponto é a seguinte:
Os cúspides ocorrem quando
Um caso particular muito usado é o da hipocicloide de quatro cúspides (tetracúspides), também conhecida como astroide. Ela é obtida fazendo , Daí, obtemos que
Assim, uma equação vetorial da astroide é
Eliminando o parâmetro , obtemos a equação cartesiana da astroide que é dada por
Sabendo dessas informações, encontre uma equação vetorial da hipocicloide .
Resolva as seguintes inequações
(g)
Determine uma equação da reta que satisfaça as condições dadas a seguir:
(e) Intercepta o eixo em 1 e intercepta o eixo em -3 .
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .