Obtenha a equação cartesiana das seguintes curvas:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa transformar uma equação vetorial da curva, que tá em função do parâmetro
, numa equação cartesiana que relaciona
e
diretamente. Isso envolve usar um pouquinho de álgebra para eliminar o parâmetro.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes
e
da equação vetorial. A equação dada é:
Então, temos:
Passo 3
Agora, a ideia é expressar
em termos de
a partir da primeira equação e substituir na segunda. Da equação
, podemos isolar
:
Passo 4
Com
expresso em função de
, substituímos esse valor na equação de
:
Passo 5
Vamos expandir e simplificar a expressão:
Passo 6
Simplificando os termos:
Resposta
A equação cartesiana da curva é
.
Exercícios relacionados
Uma hipociclóide é a curva descrita pelo movimento de um ponto
, de um círculo de raio
, que gira dentro de um círculo fixo de raio
.A razão entre os raios, quando for um número inteiro, nos informa a quantidade de pétalas dessa figura. Chamam-se de cúspides os pontos onde o ponto de tangência dos dois círculos é o ponto
. Considerando um sistema de coordenadas cartesianas com origem de coordenadas no centro da superfície circular de raio a, a equação paramétrica deste ponto é a seguinte:
Os cúspides ocorrem quando
Um caso particular muito usado é o da hipocicloide de quatro cúspides (tetracúspides), também conhecida como astroide. Ela é obtida fazendo
, Daí, obtemos que
Assim, uma equação vetorial da astroide é
Eliminando o parâmetro
, obtemos a equação cartesiana da astroide que é dada por
Sabendo dessas informações, encontre uma equação vetorial da hipocicloide
.
Resolva as seguintes inequações
(g)
(g)
Determine uma equação da reta que satisfaça as condições dadas a seguir:
(e) Intercepta o eixo em 1 e intercepta o eixo
em -3 .
(e) Intercepta o eixo
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.