Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando indução matemática, que a soma
valida para todo número inteiro
. Para isso, vamos precisar entender como funciona a indução matemática, que é uma técnica para provar afirmações que dependem de um número natural
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a afirmação para o caso base, ou seja, quando
.
Substituindo
na soma da esquerda, temos:
Agora, substituindo
na expressão da direita:
Como os dois lados são iguais (
), o caso base é verdadeiro.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número inteiro
. Isso é conhecido como a hipótese de indução. Ou seja, assumimos que:
Essa suposição nos ajuda a provar que a afirmação também é verdadeira para
.
Passo 4
Nosso objetivo agora é provar que:
Primeiro, somamos o próximo termo à hipótese de indução:
Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum, que é
. Fazendo a soma:
Vamos simplificar o numerador:
Fatorando o polinômio dentro dos parênteses:
Então, o numerador fica:
Portanto, a soma completa fica:
Isso corresponde exatamente ao lado direito que queríamos provar:
Resposta
Portanto, por indução matemática, a igualdade
é válida para todo
.
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Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
é múltiplo de 3 para
natural par.
Determine o domínio das seguintes funções:
(i)
(i)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.