Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando indução matemática, que a soma
valida para todo número inteiro . Para isso, vamos precisar entender como funciona a indução matemática, que é uma técnica para provar afirmações que dependem de um número natural .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a afirmação para o caso base, ou seja, quando .
Substituindo na soma da esquerda, temos:
Agora, substituindo na expressão da direita:
Como os dois lados são iguais ( ), o caso base é verdadeiro.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número inteiro . Isso é conhecido como a hipótese de indução. Ou seja, assumimos que:
Essa suposição nos ajuda a provar que a afirmação também é verdadeira para .

Passo 4

Nosso objetivo agora é provar que:
Primeiro, somamos o próximo termo à hipótese de indução:
Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum, que é . Fazendo a soma:
Vamos simplificar o numerador:
Fatorando o polinômio dentro dos parênteses:
Então, o numerador fica:
Portanto, a soma completa fica:
Isso corresponde exatamente ao lado direito que queríamos provar:

Resposta

Portanto, por indução matemática, a igualdade
é válida para todo .

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(i)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .