Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .

Passo 1

Vamos resolver uma questão de Indução Matemática onde precisamos provar que a soma dos fatoriais de 0 até é menor ou igual a . Ou seja, queremos mostrar que:
Para isso, vamos usar o princípio da indução, que envolve dois passos principais: a base da indução e o passo indutivo.

Passo 2

Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o menor valor de , geralmente .
Calculando para :
Então,
A base da indução é verdadeira.

Passo 3

Hipótese de Indução: Vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum , ou seja:
Agora, precisamos provar que a afirmação também é verdadeira para :

Passo 4

Mostrando para : Usando a hipótese de indução, sabemos que:
Então, adicionando dos dois lados:
Precisamos mostrar que:

Passo 5

Simplificando a Desigualdade:
Sabemos que:
Então, a desigualdade fica:
Dividindo ambos os lados por (que é positivo), obtemos:
Isso simplifica para:
Como pertence aos números naturais , essa condição sempre é verdadeira.

Resposta

Portanto, por Indução Matemática, a afirmação é válida para todo .

Exercícios relacionados

Determine o domínio das seguintes funções:
(i)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .
Esboce o gráfico de cada função usando o gráfico de uma das funções básicas que já vimos e aplicando transformações apropriadas (translação e/ou reflexão).
(g)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .