Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Passo 1
Vamos resolver uma questão de Indução Matemática onde precisamos provar que a soma dos fatoriais de 0 até
é menor ou igual a
. Ou seja, queremos mostrar que:
Para isso, vamos usar o princípio da indução, que envolve dois passos principais: a base da indução e o passo indutivo.
Passo 2
Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o menor valor de
, geralmente
.
Calculando para
:
Então,
A base da indução é verdadeira.
Passo 3
Hipótese de Indução: Vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum
, ou seja:
Agora, precisamos provar que a afirmação também é verdadeira para
:
Passo 4
Mostrando para
: Usando a hipótese de indução, sabemos que:
Então, adicionando
dos dois lados:
Precisamos mostrar que:
Passo 5
Simplificando a Desigualdade:
Sabemos que:
Então, a desigualdade fica:
Dividindo ambos os lados por
(que é positivo), obtemos:
Isso simplifica para:
Como
pertence aos números naturais
, essa condição sempre é verdadeira.
Resposta
Portanto, por Indução Matemática, a afirmação
é válida para todo
.
Exercícios relacionados
Determine o domínio das seguintes funções:
(i)
(i)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Esboce o gráfico de cada função usando o gráfico de uma das funções básicas que já vimos e aplicando transformações apropriadas (translação e/ou reflexão).
(g)
(g)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.