Usando indução, mostre as seguintes afirmações: 2^n - 1 é múltiplo de 3 para n natural par.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar, usando indução matemática, que é múltiplo de 3 quando é um número natural par. Ou seja, queremos provar que dá um número inteiro sempre que for par. Para isso, vamos usar o método de indução matemática, que basicamente verifica se a afirmação é verdadeira para um caso inicial e, então, mostra que se é verdadeira para um caso qualquer, também é para o próximo.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar o caso base da nossa indução. Vamos escolher o menor número natural par, que é .
Calculando:
E é múltiplo de 3, já que . Então, o caso base é verdadeiro.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número par . Ou seja, assumimos que:
éú
Isso significa que existe um inteiro tal que:

Passo 4

Precisamos mostrar que a afirmação também é verdadeira para o próximo número par, que é . Vamos calcular :

Passo 5

Agora, podemos reescrever de uma forma que nos ajude a usar a hipótese de indução:
Sabemos, pela hipótese de indução, que , então substituindo:

Passo 6

Perceba que é claramente múltiplo de 3, já que é 3 vezes um inteiro. Assim, mostramos que se é múltiplo de 3, então também é múltiplo de 3.

Resposta

Portanto, por indução matemática, é múltiplo de 3 para todo número natural par .

Exercícios relacionados