Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
é múltiplo de 3 para
natural par.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar, usando indução matemática, que
é múltiplo de 3 quando
é um número natural par. Ou seja, queremos provar que
dá um número inteiro sempre que
for par. Para isso, vamos usar o método de indução matemática, que basicamente verifica se a afirmação é verdadeira para um caso inicial e, então, mostra que se é verdadeira para um caso qualquer, também é para o próximo.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar o caso base da nossa indução. Vamos escolher o menor número natural par, que é
.
Calculando:
E
é múltiplo de 3, já que
. Então, o caso base é verdadeiro.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número par
. Ou seja, assumimos que:
Isso significa que existe um inteiro
tal que:
Passo 4
Precisamos mostrar que a afirmação também é verdadeira para o próximo número par, que é
. Vamos calcular
:
Passo 5
Agora, podemos reescrever
de uma forma que nos ajude a usar a hipótese de indução:
Sabemos, pela hipótese de indução, que
, então substituindo:
Passo 6
Perceba que
é claramente múltiplo de 3, já que é 3 vezes um inteiro. Assim, mostramos que se
é múltiplo de 3, então
também é múltiplo de 3.
Resposta
Portanto, por indução matemática,
é múltiplo de 3 para todo número natural par
.
Exercícios relacionados
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
é divisível por 6 , para
.
Calcule
e
para a função definida por partes e esboce o gráfico da função:
(a)
(a)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.