Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar, usando indução matemática, que a soma
é igual a
para todo número
maior ou igual a 1. Para isso, vamos usar o método da indução matemática, que é uma maneira de provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é indução matemática. É como escalar uma parede: a gente mostra que segura o primeiro degrau (caso base) e que, se segura um degrau, também segura o próximo (passo indutivo). Assim, garantimos que podemos subir todos os degraus.
Passo 3
Caso Base: Vamos verificar se a fórmula funciona para
.
A soma fica:
E o lado direito da equação é:
Então, para
, os dois lados são iguais. O caso base está confirmado!
Passo 4
Hipótese de Indução: Agora, vamos assumir que a fórmula é verdadeira para um número inteiro qualquer
, ou seja:
Essa é a nossa suposição para avançar no próximo passo.
Passo 5
Passo Indutivo: Precisamos mostrar que, se a fórmula vale para
, então ela também vale para
.
Vamos escrever a soma para
:
Pela hipótese de indução, sabemos que os primeiros termos somam
. Então:
Isso mostra que a fórmula também funciona para
.
Resposta
Assim, por indução matemática, provamos que
para todo
.