Usando indução, mostre as seguintes afirmações: 2 * 3^0 + 2 * 3^1 + 2 * 3^2 + 2 * 3^3 + ... + 2 * 3^(n-1) = 3^n - 1 para n ≥ 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar, usando indução matemática, que a soma é igual a para todo número maior ou igual a 1. Para isso, vamos usar o método da indução matemática, que é uma maneira de provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é indução matemática. É como escalar uma parede: a gente mostra que segura o primeiro degrau (caso base) e que, se segura um degrau, também segura o próximo (passo indutivo). Assim, garantimos que podemos subir todos os degraus.

Passo 3

Caso Base: Vamos verificar se a fórmula funciona para .
A soma fica:
E o lado direito da equação é:
Então, para , os dois lados são iguais. O caso base está confirmado!

Passo 4

Hipótese de Indução: Agora, vamos assumir que a fórmula é verdadeira para um número inteiro qualquer , ou seja:
Essa é a nossa suposição para avançar no próximo passo.

Passo 5

Passo Indutivo: Precisamos mostrar que, se a fórmula vale para , então ela também vale para .
Vamos escrever a soma para :
Pela hipótese de indução, sabemos que os primeiros termos somam . Então:
Isso mostra que a fórmula também funciona para .

Resposta

Assim, por indução matemática, provamos que para todo .

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