Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar, usando indução matemática, que a soma
é igual a
para todo número
maior ou igual a 1. Para isso, vamos usar o método da indução matemática, que é uma maneira de provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é indução matemática. É como escalar uma parede: a gente mostra que segura o primeiro degrau (caso base) e que, se segura um degrau, também segura o próximo (passo indutivo). Assim, garantimos que podemos subir todos os degraus.
Passo 3
Caso Base: Vamos verificar se a fórmula funciona para
.
A soma fica:
E o lado direito da equação é:
Então, para
, os dois lados são iguais. O caso base está confirmado!
Passo 4
Hipótese de Indução: Agora, vamos assumir que a fórmula é verdadeira para um número inteiro qualquer
, ou seja:
Essa é a nossa suposição para avançar no próximo passo.
Passo 5
Passo Indutivo: Precisamos mostrar que, se a fórmula vale para
, então ela também vale para
.
Vamos escrever a soma para
:
Pela hipótese de indução, sabemos que os primeiros termos somam
. Então:
Isso mostra que a fórmula também funciona para
.
Resposta
Assim, por indução matemática, provamos que
para todo
.
Exercícios relacionados
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: A Torre de Hanoi é um jogo que consiste em um tabuleito com 3 hastes (A, B e C) e uma coleção de
discos de tamanhos (raios) diferentes. Os discos têm orifícios perfurados em seus centros, de modo a poderem encaixar os discos nas hastes do tabuleiro. Inicialmente, todos os discos estão na haste A , dispostos por tamanho (do maior, na base, para o menor, no topo). O objetivo é transferir todos os discos da haste A para haste B com o menor número possível de movimentos. Cada movimento consiste em tirar o disco de cima de uma das hastes e colocá-lo em outra haste, com a condição de não se colocar um disco maior em cima de um disco menor. Mostre que é possível, com
movimentos, transferir todos os discos da haste A para haste B.
Determine f e g , dado que
(b)
(b)
Determine uma equação da reta que satisfaça as condições dadas a seguir:
(d) Passa pelo ponto e tem inclinação -1 .
(d) Passa pelo ponto
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.