Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar, usando indução matemática, que a soma é igual a para todo número maior ou igual a 1. Para isso, vamos usar o método da indução matemática, que é uma maneira de provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é indução matemática. É como escalar uma parede: a gente mostra que segura o primeiro degrau (caso base) e que, se segura um degrau, também segura o próximo (passo indutivo). Assim, garantimos que podemos subir todos os degraus.

Passo 3

Caso Base: Vamos verificar se a fórmula funciona para .
A soma fica:
E o lado direito da equação é:
Então, para , os dois lados são iguais. O caso base está confirmado!

Passo 4

Hipótese de Indução: Agora, vamos assumir que a fórmula é verdadeira para um número inteiro qualquer , ou seja:
Essa é a nossa suposição para avançar no próximo passo.

Passo 5

Passo Indutivo: Precisamos mostrar que, se a fórmula vale para , então ela também vale para .
Vamos escrever a soma para :
Pela hipótese de indução, sabemos que os primeiros termos somam . Então:
Isso mostra que a fórmula também funciona para .

Resposta

Assim, por indução matemática, provamos que para todo .

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Usando indução, mostre as seguintes afirmações: A Torre de Hanoi é um jogo que consiste em um tabuleito com 3 hastes (A, B e C) e uma coleção de discos de tamanhos (raios) diferentes. Os discos têm orifícios perfurados em seus centros, de modo a poderem encaixar os discos nas hastes do tabuleiro. Inicialmente, todos os discos estão na haste A , dispostos por tamanho (do maior, na base, para o menor, no topo). O objetivo é transferir todos os discos da haste A para haste B com o menor número possível de movimentos. Cada movimento consiste em tirar o disco de cima de uma das hastes e colocá-lo em outra haste, com a condição de não se colocar um disco maior em cima de um disco menor. Mostre que é possível, com movimentos, transferir todos os discos da haste A para haste B.
Determine f e g , dado que
(b)
Determine uma equação da reta que satisfaça as condições dadas a seguir:
(d) Passa pelo ponto e tem inclinação -1 .
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .