Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para provar, usando indução, que para todo número inteiro maior ou igual a 9, o fatorial de ( ) é maior ou igual a . Isso está dentro do assunto de Indução Matemática, que é uma técnica usada para provar afirmações que valem para todos os números naturais a partir de um certo ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender como a indução funciona e aplicar seus passos.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso inicial, ou seja, quando . Isso é chamado de base da indução.
Calculando:
Vemos que , então a base da indução é verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos ao passo indutivo. A ideia aqui é assumir que a afirmação é verdadeira para algum número , ou seja, assumir que . Com essa suposição, precisamos provar que .
Sabemos que:
Usando a hipótese de indução ( ):
Queremos mostrar que isso é pelo menos . Então, precisamos que:
  • Dividindo ambos os lados por (que é positivo), temos:
Como , então , que obviamente é maior que 4. Portanto, a desigualdade é verdadeira.

Passo 4

Como mostramos que:
  1. A afirmação é verdadeira para .
  2. Se for verdadeira para , então também é verdadeira para .
Pela Princípio da Indução Matemática, concluímos que para todo inteiro .

Resposta

Portanto, usando indução matemática, mostramos que para todo , .

Exercícios relacionados

Determine uma equação da reta que satisfaça as condições dadas a seguir:
(d) Passa pelo ponto e tem inclinação -1 .
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .
Determine o domínio das seguintes funções:
(b)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: é múltiplo de 7 para .