Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para provar, usando indução, que para todo número inteiro
maior ou igual a 9, o fatorial de
(
) é maior ou igual a
. Isso está dentro do assunto de Indução Matemática, que é uma técnica usada para provar afirmações que valem para todos os números naturais a partir de um certo ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender como a indução funciona e aplicar seus passos.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso inicial, ou seja, quando
. Isso é chamado de base da indução.
Calculando:
Vemos que
, então a base da indução é verdadeira.
Passo 3
Agora, vamos ao passo indutivo. A ideia aqui é assumir que a afirmação é verdadeira para algum número
, ou seja, assumir que
. Com essa suposição, precisamos provar que
.
Sabemos que:
Usando a hipótese de indução (
):
Queremos mostrar que isso é pelo menos
. Então, precisamos que:
-
- Dividindo ambos os lados por
(que é positivo), temos: -
Como
, então
, que obviamente é maior que 4. Portanto, a desigualdade
é verdadeira.
Passo 4
Como mostramos que:
- A afirmação é verdadeira para
. - Se for verdadeira para
, então também é verdadeira para .
Pela Princípio da Indução Matemática, concluímos que
para todo inteiro
.
Resposta
Portanto, usando indução matemática, mostramos que para todo
,
.
Exercícios relacionados
Determine uma equação da reta que satisfaça as condições dadas a seguir:
(d) Passa pelo ponto e tem inclinação -1 .
(d) Passa pelo ponto
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Determine o domínio das seguintes funções:
(b)
(b)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
é múltiplo de 7 para
.