Usando indução, mostre as seguintes afirmações: é divisível por 6 , para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar, usando o método de indução matemática, que para todo número natural , a expressão é divisível por 6. Então, o que vamos precisar aqui é entender o que é indução matemática e como verificar a divisibilidade por 6.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base, que geralmente é quando . Vamos calcular:
Zero é divisível por qualquer número, inclusive por 6. Então, o caso base está certinho!

Passo 3

Agora, vamos para o passo indutivo. Aqui, a gente assume que a afirmação é verdadeira para algum número natural . Ou seja, vamos supor que:
éí
Isso significa que para algum inteiro . Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Com a hipótese de indução, a gente precisa provar que a afirmação vale para . Vamos calcular :
Agora, vamos reescrever essa expressão:
Pela hipótese de indução, sabemos que . Então:
Agora, observe que . Consequentemente:
Sabemos que dois números consecutivos e um deles é par, então é múltiplo de 2. Assim, é múltiplo de 6. Além disso, também é múltiplo de 6. A soma de dois múltiplos de 6 também é múltiplo de 6.

Passo 5

Como mostramos que se a afirmação é verdadeira para , então ela também é verdadeira para , e já verificamos o caso base, pela indução matemática, a afirmação é divisível por 6 para todo número natural .

Resposta

Portanto, demonstramos que é divisível por 6 para todo usando indução matemática.

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Calcule e para a função definida por partes e esboce o gráfico da função:
(a)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: é múltiplo de 3 para natural par.
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .