Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
é divisível por 6 , para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar, usando o método de indução matemática, que para todo número natural
, a expressão
é divisível por 6. Então, o que vamos precisar aqui é entender o que é indução matemática e como verificar a divisibilidade por 6.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o caso base, que geralmente é quando
. Vamos calcular:
Zero é divisível por qualquer número, inclusive por 6. Então, o caso base está certinho!
Passo 3
Agora, vamos para o passo indutivo. Aqui, a gente assume que a afirmação é verdadeira para algum número natural
. Ou seja, vamos supor que:
Isso significa que
para algum inteiro
. Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
Com a hipótese de indução, a gente precisa provar que a afirmação vale para
. Vamos calcular
:
Agora, vamos reescrever essa expressão:
Pela hipótese de indução, sabemos que
. Então:
Agora, observe que
. Consequentemente:
Sabemos que dois números consecutivos
e
um deles é par, então
é múltiplo de 2. Assim,
é múltiplo de 6. Além disso,
também é múltiplo de 6. A soma de dois múltiplos de 6 também é múltiplo de 6.
Passo 5
Como mostramos que se a afirmação é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
, e já verificamos o caso base, pela indução matemática, a afirmação
é divisível por 6 para todo número natural
.
Resposta
Portanto, demonstramos que
é divisível por 6 para todo
usando indução matemática.
Exercícios relacionados
Calcule
e
para a função definida por partes e esboce o gráfico da função:
(a)
(a)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
é múltiplo de 3 para
natural par.
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.