Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar, usando indução matemática, que para todo número natural
, a desigualdade
é verdadeira. Para isso, vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la. Basicamente, a indução é uma técnica que nos ajuda a provar que uma afirmação é válida para todos os números naturais começando de um certo ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o caso base, que é quando
. Isso é importante para garantir que nossa afirmação é verdadeira no ponto de partida.
Substituindo
na desigualdade:
Então,
Isso é verdadeiro! Ou seja, o caso base está confirmado.
Passo 3
Agora, vamos para o passo da indução. Aqui, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número
, ou seja, assumimos que:
Essa é a nossa hipótese de indução. O que queremos mostrar é que, se isso é verdade para
, então também é verdade para
.
Passo 4
Vamos verificar a desigualdade para
:
Simplificando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Então, precisamos mostrar que:
Passo 5
Para provar isso, vamos reorganizar a desigualdade:
Simplificando:
Agora, percebemos que para
, todos os termos da expressão
são positivos, então a soma também será positiva:
Portanto,
o que confirma que a desigualdade
é verdadeira.
Resposta
Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo
, a desigualdade
é válida.
Exercícios relacionados
Determine as derivadas das seguintes funções vetoriais:
;
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Calcule
e
para a função definida por partes e esboce o gráfico da função:
(a)
(a)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
é divisível por 6 , para
.