Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar, usando indução matemática, que para todo número natural , a desigualdade é verdadeira. Para isso, vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la. Basicamente, a indução é uma técnica que nos ajuda a provar que uma afirmação é válida para todos os números naturais começando de um certo ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base, que é quando . Isso é importante para garantir que nossa afirmação é verdadeira no ponto de partida.
Substituindo na desigualdade:
Então,
Isso é verdadeiro! Ou seja, o caso base está confirmado.

Passo 3

Agora, vamos para o passo da indução. Aqui, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número , ou seja, assumimos que:
Essa é a nossa hipótese de indução. O que queremos mostrar é que, se isso é verdade para , então também é verdade para .

Passo 4

Vamos verificar a desigualdade para :
Simplificando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Então, precisamos mostrar que:

Passo 5

Para provar isso, vamos reorganizar a desigualdade:
Simplificando:
Agora, percebemos que para , todos os termos da expressão são positivos, então a soma também será positiva:
Portanto,
o que confirma que a desigualdade é verdadeira.

Resposta

Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo , a desigualdade é válida.

Exercícios relacionados

Determine as derivadas das seguintes funções vetoriais: ;
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .
Calcule e para a função definida por partes e esboce o gráfico da função:
(a)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: é divisível por 6 , para .