Usando integração por partes, Calcule as integrais abaixo:
integral cos x ln (sen x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de usando integração por partes. Vamos precisar aplicar a fórmula de integração por partes, que é ideal para integrar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, identificamos quais partes da integral serão u = ln(sen x) e dv = cos x , dx . Vamos escolher:
Assim, estamos separando a integral em duas partes que serão derivadas e integradas respectivamente.

Passo 3

Agora, calculamos du = ddx [ln(sen x)] , dx = cos xsen x , dx = cot x , dx e v = integral cos x , dx = sen x .
Derivando :
Integrando :

Passo 4

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores encontrados:

Passo 5

Simplificamos a integral restante. Sabemos que:
Portanto:
Assim, a integral fica:

Passo 6

Calculamos a integral de integral cos x , dx = sen x + C :
Substituindo de volta:

Resposta

A integral é igual a:

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