Usando substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . A matéria que vamos usar aqui é a substituição trigonométrica, que é muito útil para integrar funções que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas. Para isso, vamos precisar transformar a integral em termos de uma função trigonométrica que facilite a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica apropriada. Observando a raiz , notamos que ela se assemelha à expressão , onde . A substituição adequada nesse caso é:
Isso porque, ao usar essa substituição, a expressão dentro da raiz vai se simplificar usando a identidade trigonométrica .
Passo 3
Vamos calcular em termos de . Derivando em relação a , temos:
Agora, substituímos e na integral original:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Substituindo de volta na integral:
Simplificando os coeficientes e as funções:
Passo 5
Vamos agora integrar em termos de . Para isso, reconhecemos que pode ser integrado usando uma substituição adicional. Vamos deixar a integral assim e focar na integral:
Sabemos que , então substituímos:
Distribuindo:
Integrando cada termo:
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que , podemos desenhar um triângulo retângulo onde o cateto oposto é e o cateto adjacente é . A hipotenusa será:
Então, e . Substituindo de volta:
Simplificando:
Resposta
A integral 32 (9 + x^2) - 272 ln(raiz9 + x^2 + x) + C é igual a: