Usando substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo.
integral x^3raiz9+x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . A matéria que vamos usar aqui é a substituição trigonométrica, que é muito útil para integrar funções que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas. Para isso, vamos precisar transformar a integral em termos de uma função trigonométrica que facilite a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica apropriada. Observando a raiz x = 3 tan(theta) , notamos que ela se assemelha à expressão , onde . A substituição adequada nesse caso é:
Isso porque, ao usar essa substituição, a expressão dentro da raiz vai se simplificar usando a identidade trigonométrica .

Passo 3

Vamos calcular dx = 3 sec^2(theta) , dtheta em termos de integral (3 tan(theta))^3raiz9 + (3 tan(theta))^2 cdot 3 sec^2(theta) , dtheta . Derivando em relação a , temos:
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
raiz9 + 9 tan^2(theta) = raiz9(1 + tan^2(theta)) = 3 raiz1 + tan^2(theta) = 3 sec(theta)
Substituindo de volta na integral:
integral 27 tan^3(theta)3 sec(theta) cdot 3 sec^2(theta) , dtheta
Simplificando os coeficientes e as funções:
integral 27 tan^3(theta) sec(theta) , dtheta

Passo 5

Vamos agora integrar em termos de 27 integral tan^3(theta) sec(theta) , dtheta . Para isso, reconhecemos que 27 integral tan(theta) (sec^2(theta) - 1) sec(theta) , dtheta pode ser integrado usando uma substituição adicional. Vamos deixar a integral assim e focar na integral:
27 integral (tan(theta) sec^3(theta) - tan(theta) sec(theta)) , dtheta
Sabemos que 27 ( 12 sec^2(theta) - 12 ln|sec(theta) + tan(theta)| ) + C , então substituímos:
Distribuindo:
Integrando cada termo:

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original raiz9 + x^2 . Lembrando que 27 ( 12 ( raiz9 + x^23 )^2 - 12 ln|raiz9 + x^23 + x3| ) + C , podemos desenhar um triângulo retângulo onde o cateto oposto é 272 cdot 9 + x^29 - 272 ln|raiz9 + x^2 + x3| + C e o cateto adjacente é 272 cdot 9 + x^29 = 2718 (9 + x^2) = 32 (9 + x^2) . A hipotenusa será:
Então, e . Substituindo de volta:
Simplificando:

Resposta

A integral 32 (9 + x^2) - 272 ln(raiz9 + x^2 + x) + C é igual a:

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