Usando integração por partes, Calcule as integrais abaixo:
integral0^1 arctg x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida usando integração por partes. Esse método é útil quando a integral é o produto de duas funções, permitindo simplificar a expressão. Para isso, vamos identificar duas partes na nossa integral que correspondem às funções integral u , dv = u cdot v - integral v , du e na fórmula de integração por partes, que é:

Passo 2

Primeiro, escolhemos qual parte da integral vai ser u = arctg x e dv = dx e qual vai ser . Geralmente, escolhemos para ser a função que fica mais simples quando derivada. Neste caso, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = 11 + x^2 dx (derivada de (arctg x)) v = integral dv = integral dx = x e . Vamos derivar e integrar :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral que ficou:
integral x1 + x^2 dx
Para isso, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar integral x1 + x^2 dx = 12 integral 1w dw = 12 ln|w| + C = 12 ln(1 + x^2) + C , então , o que implica que .
Substituindo na integral:

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
Agora, vamos calcular o valor da integral definida de 0 a 1:

Passo 7

Calculando nos limites:
Para 1 cdot arctg 1 - 12 ln(1 + 1^2) = arctg 1 - 12 ln 2 = pi4 - 12 ln 2 :
Para 0 cdot arctg 0 - 12 ln(1 + 0^2) = 0 - 12 ln 1 = 0 :

Resposta

pi4 - 12 ln 2

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