Usando integração por partes, Calcule as integrais abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida usando integração por partes. Esse método é útil quando a integral é o produto de duas funções, permitindo simplificar a expressão. Para isso, vamos identificar duas partes na nossa integral que correspondem às funções
e
na fórmula de integração por partes, que é:
Passo 2
Primeiro, escolhemos qual parte da integral vai ser
e qual vai ser
. Geralmente, escolhemos
para ser a função que fica mais simples quando derivada. Neste caso, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
. Vamos derivar
e integrar
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral que ficou:
Para isso, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar
, então
, o que implica que
.
Substituindo na integral:
Passo 6
Voltando à nossa expressão original:
Agora, vamos calcular o valor da integral definida de 0 a 1:
Passo 7
Calculando nos limites:
Para
:
Para
: