Calcule as integrais abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
.
Aqui, estamos lidando com uma fração algébrica e vamos precisar usar frações parciais para simplificar a expressão antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos decompôr a fração
em frações mais simples. Queremos escrever:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Agora, expandimos a expressão no lado direito:
Agrupando os termos com
e os constantes:
Passo 5
Para que as duas expressões sejam iguais para todo
, os coeficientes de
e os termos constantes devem ser iguais. Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Passo 7
Agora que encontramos
e
, substituímos de volta nas frações parciais:
Passo 8
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que
, então:
Resposta
A integral é igual a
.