Calcule as integrais abaixo:
integral x-9(x+5)(x-3) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: .
Aqui, estamos lidando com uma fração algébrica e vamos precisar usar frações parciais para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompôr a fração x-9(x+5)(x-3) = Ax+5 + Bx-3 em frações mais simples. Queremos escrever:
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação por x - 9 = A(x - 3) + B(x + 5) para eliminar os denominadores:

Passo 4

Agora, expandimos a expressão no lado direito:
x - 9 = A x - 3A + B x + 5B
Agrupando os termos com x - 9 = (A + B)x + (-3A + 5B) e os constantes:

Passo 5

Para que as duas expressões sejam iguais para todo A + B = 1 -3A + 5B = -9 , os coeficientes de e os termos constantes devem ser iguais. Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
A = 1 - B
Substituindo na segunda equação:
-3(1 - B) + 5B = -9 -3 + 3B + 5B = -9 8B = -6 B = -68 = -34
Então,
A = 1 - (-34) = 1 + 34 = 74

Passo 7

Agora que encontramos x-9(x+5)(x-3) = 74x+5 + -34x-3 = 74(x+5) - 34(x-3) e , substituímos de volta nas frações parciais:

Passo 8

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 74(x+5) , dx - integral 34(x-3) , dx
Sabemos que 74 ln|x+5| - 34 ln|x-3| + C , então:

Resposta

A integral é igual a .

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