Usando integração por partes, Calcule as integrais abaixo:
integral t^2 e^t d t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral t^2 e^t , dt usando integração por partes. Esse método é super útil quando a integral é o produto de duas funções, como é o caso aqui: um polinômio t^2 e uma função exponencial e^t. Para isso, vamos precisar identificar partes da integral para aplicar a fórmula de integração por partes.

Passo 2

A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte será u e qual será dv. Geralmente, escolhemos u como a parte que fica mais simples quando derivada. Então, vamos escolher:
u = t^2 e dv = e^t , dt

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v:
du = ddt(t^2) , dt = 2t , dt
v = integral e^t , dt = e^t
Então, substituímos na fórmula de integração por partes:
integral t^2 e^t , dt = t^2 e^t - integral e^t cdot 2t , dt

Passo 4

A integral que ficou agora é integral 2t e^t , dt. Podemos simplificar retirando o 2:
integral 2t e^t , dt = 2 integral t e^t , dt
Vamos resolver essa nova integral usando novamente integração por partes.

Passo 5

Para a integral integral t e^t , dt, escolhemos:
u = t e dv = e^t , dt
Calculando du e v:
du = ddt(t) , dt = 1 , dt
v = integral e^t , dt = e^t
Aplicando a fórmula:
integral t e^t , dt = t e^t - integral e^t cdot 1 , dt = t e^t - e^t

Passo 6

Voltando à etapa anterior, tínhamos:
integral t^2 e^t , dt = t^2 e^t - 2 ( t e^t - e^t )
Distribuindo o 2:
= t^2 e^t - 2t e^t + 2 e^t
Podemos fatorar e^t:
= e^t (t^2 - 2t + 2) + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral integral t^2 e^t , dt é igual a:
e^t (t^2 - 2t + 2) + C

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