Usando integração por partes, Calcule as integrais abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida de de 1 até
. A gente vai usar o método de integração por partes, que é super útil quando temos produtos de funções. Para isso, precisamos escolher bem quais partes da integral vão ser
e
.
Passo 2
Primeiro, escolhemos:
A ideia é derivar
e integrar
para encontrar
e
.
Passo 3
Vamos calcular
e
:
- Derivando
:
- Integrando:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral
. Fazemos uma substituição simples:
- Seja
, então , ou seja, .
Substituindo na integral:
Passo 6
Voltando à nossa expressão original:
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 1 até
Passo 7
Calculando nos limites:
- Para
:
- Para:
Subtraindo:
Simplificando os termos de
Resposta
A integral vale
.
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