Usando integração por partes, Calcule as integrais abaixo:
integral1^raiz3 arctg(1 / x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de de 1 até arctg(1x). A gente vai usar o método de integração por partes, que é super útil quando temos produtos de funções. Para isso, precisamos escolher bem quais partes da integral vão ser raiz3 e u.

Passo 2

Primeiro, escolhemos:
  • u = arctg(1x)
A ideia é derivar dv = dx e integrar u para encontrar dv e du.

Passo 3

Vamos calcular du e v:
  • Derivando u:
    - Integrando du = ddx[arctg(1x)] dx = -1x^2 + 1 dx:
    dv

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral integral xx^2 + 1 dx. Fazemos uma substituição simples:
  • Seja w = x^2 + 1, então dw = 2x dx, ou seja, x dx = 12 dw.
    Substituindo na integral:
integral xx^2 + 1 dx = 12 integral dww = 12 ln|w| + C = 12 ln(x^2 + 1) + C

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 1 até integral arctg(1x) dx = x cdot arctg(1x) + 12 ln(x^2 + 1) + C:

Passo 7

Calculando nos limites:
  • Para x = raiz3:
    - Para raiz3 cdot arctg(1raiz3) + 12 ln(3 + 1) = raiz3 cdot pi6 + 12 ln4:
Subtraindo:
x = 1
Simplificando os termos de 1 cdot arctg(1) + 12 ln(1 + 1) = pi4 + 12 ln2:
(raiz3 cdot pi6 + 12 ln4) - (pi4 + 12 ln2) = raiz3pi6 - pi4 + 12 ln2

Resposta

A integral vale (2raiz3 - 3)pi12 + 12 ln2.

Exercícios relacionados

Usando integração por partes, Calcule as integrais abaixo:
integral t^2 e^t d t.
Usando substituição, calcule as integrais abaixo:
integral0^pi / 2 cos x sen(sen x) d x.
Calcule as integrais trigonométricas abaixo.
integral 1-tg^2 xsec ^2 x d x.
Usando substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo.
integral raizx^2-9x^3 d x.