Calcule as integrais trigonométricas abaixo.
integral 1-tg^2 xsec ^2 x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 1 - tg^2 xsec^2 x , dx. Esse exercício está dentro do conteúdo de integrais trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas básicas e propriedades das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que tg x é o mesmo que tan x e que sec x é 1/cos x. Além disso, lembramos das identidades trigonométricas:
1 + tan^2 x = sec^2 x e 1 - tan^2 x = 1sec^2 x

Passo 3

Vamos reescrever a integral usando essas identidades. Observamos que 1 - tan^2 x = 1sec^2 x. Então:
1 - tan^2 xsec^2 x = 1sec^2 xsec^2 x = 1sec^4 x = cos^4 x
Portanto, a integral fica:
integral cos^4 x , dx

Passo 4

Agora, precisamos integrar cos^4 x. Para isso, usamos a fórmula de redução para potências pares de cosseno:
cos^2 x = 1 + cos 2x2
Então, cos^4 x = (cos^2 x)^2 = ( 1 + cos 2x2 )^2 = 1 + 2cos 2x + cos^2 2x4

Passo 5

Agora, a integral fica:
integral cos^4 x , dx = integral 1 + 2cos 2x + cos^2 2x4 , dx = 14 integral (1 + 2cos 2x + cos^2 2x) , dx
Vamos integrar termo a termo.

Passo 6

Integramos cada parte:
  1. integral 1 , dx = x
  2. integral 2cos 2x , dx = 2 cdot sin 2x2 = sin 2x
  3. Para integral cos^2 2x , dx, usamos novamente a identidade:
cos^2 2x = 1 + cos 4x2
Então:
integral cos^2 2x , dx = integral 1 + cos 4x2 , dx = 12 integral 1 , dx + 12 integral cos 4x , dx = x2 + sin 4x8

Passo 7

Juntando tudo, temos:
14 ( x + sin 2x + x2 + sin 4x8 ) = 14 ( 3x2 + sin 2x + sin 4x8 )
Simplificando:
3x8 + sin 2x4 + sin 4x32 + C

Resposta

A integral é igual a:
3x8 + sin 2x4 + sin 4x32 + C

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