Usando substituição, calcule as integrais abaixo:
.
Passo 1
Resumo do Enunciado: Precisamos calcular a integral definida de 0 a
de . Vamos usar o método de substituição para resolver essa integral. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples.
Passo 2
Escolha da Substituição: Vamos deixar . Isso significa que precisamos encontrar
em termos de
.
Passo 3
Cálculo de
: Derivando , temos:
Isso mostra que
é exatamente
, o que simplifica nossa integral.
Passo 4
Mudança dos Limites de Integração: Quando fizemos a substituição , precisamos ajustar os limites da integral:
- Quando
, . - Quando
, .
Passo 5
Reescrevendo a Integral: Com a substituição, a integral original fica:
Agora, a integral está mais simples e em termos de
.
Passo 6
Calculando a Integral: A integral de em relação a
é:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Passo 7
Simplificando os Valores: Sabemos que
, então:
Resposta
O valor da integral é
.
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.
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