Usando substituição, calcule as integrais abaixo:
integral0^pi / 2 cos x sen(sen x) d x.

Passo 1

Resumo do Enunciado: Precisamos calcular a integral definida de 0 a de . Vamos usar o método de substituição para resolver essa integral. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples.

Passo 2

Escolha da Substituição: Vamos deixar . Isso significa que precisamos encontrar em termos de .

Passo 3

Cálculo de dudx = cos x Rightarrow du = cos x , dx : Derivando , temos:
Isso mostra que é exatamente , o que simplifica nossa integral.

Passo 4

Mudança dos Limites de Integração: Quando fizemos a substituição , precisamos ajustar os limites da integral:
  • Quando , .
  • Quando , .

Passo 5

Reescrevendo a Integral: Com a substituição, a integral original fica:
Agora, a integral está mais simples e em termos de integral0^pi/2 cos x cdot sen(sen x) , dx = integral0^1 sen(u) , du .

Passo 6

Calculando a Integral: A integral de em relação a integral sen(u) , du = -cos(u) + C é:
Aplicando os limites de 0 a 1:
-cos(1) + cos(0)

Passo 7

Simplificando os Valores: Sabemos que -cos(1) + 1 = 1 - cos(1) , então:

Resposta

O valor da integral é .

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