Usando integração por partes, Calcule as integrais abaixo:
integral x sen(2 x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. Esse método é útil quando temos o produto de duas funções e precisamos integrar. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da função serão integral x sen(2x) , dx e .

Passo 2

Primeiro, escolhemos . Isso significa que , a derivada de , será . A escolha de é conveniente porque a derivada de é simples.

Passo 3

Agora, identificamos . Para encontrar , precisamos integrar . A integral de é , então .

Passo 4

Com integral u , dv = uv - integral v , du e integral x sen(2x) , dx = x (-12 cos(2x)) - integral (-12 cos(2x)) , dx definidos, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Simplificamos a expressão:
- x2 cos(2x) + 12 integral cos(2x) , dx
Agora, precisamos calcular a integral restante: .

Passo 6

A integral de 12 integral cos(2x) , dx = 12 cdot 12 sen(2x) = 14 sen(2x) é , então:

Passo 7

Juntando tudo, temos:
Onde - x2 cos(2x) + 14 sen(2x) + C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:

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