Usando substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo.
integral0^2 raiz3 x^3raiz16-x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral definida usando substituição trigonométrica. A integral é:
integral0^2 raiz3 x^3raiz16-x^2 , dx
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma raiz quadrada de uma expressão quadrática, o que sugere o uso de substituição trigonométrica. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte da integral que se encaixa na substituição trigonométrica. Observamos que temos raiz16 - x^2, que se assemelha à forma raiza^2 - x^2. Para esse tipo de expressão, uma substituição comum é:
x = a sin theta
No nosso caso, a = 4, então vamos definir:
x = 4 sin theta

Passo 3

Com a substituição x = 4 sin theta, precisamos encontrar dx em termos de theta. Diferenciando ambos os lados:
dx = 4 cos theta , dtheta
Também, substituindo x na expressão raiz16 - x^2:
raiz16 - x^2 = raiz16 - 16 sin^2 theta = raiz16 (1 - sin^2 theta) = 4 cos theta

Passo 4

Agora, substituímos x e dx na integral original:
integral0^2 raiz3 x^3raiz16 - x^2 , dx = integraltheta1^theta2 (4 sin theta)^34 cos theta cdot 4 cos theta , dtheta
Simplificando a expressão:
= integraltheta1^theta2 64 sin^3 theta4 cos theta cdot 4 cos theta , dtheta = integraltheta1^theta2 64 sin^3 theta , dtheta

Passo 5

Agora, precisamos determinar os novos limites de integração. Originalmente, x varia de 0 a 2raiz3. Usando a substituição x = 4 sin theta:
Para x = 0:
0 = 4 sin theta Rightarrow sin theta = 0 Rightarrow theta = 0
Para x = 2raiz3:
2raiz3 = 4 sin theta Rightarrow sin theta = 2raiz34 = raiz32 Rightarrow theta = pi3
Então, os novos limites são de 0 a pi3.

Passo 6

A integral agora fica:
64 integral0^pi3 sin^3 theta , dtheta
Para resolver sin^3 theta, usamos a identidade trigonométrica:
sin^3 theta = sin theta (1 - cos^2 theta)
Então, a integral torna-se:
64 integral0^pi3 sin theta (1 - cos^2 theta) , dtheta

Passo 7

Vamos fazer uma substituição dentro dessa integral. Seja u = cos theta, então:
du = -sin theta , dtheta Rightarrow -du = sin theta , dtheta
Substituindo na integral:
64 integralu(0)^u(pi3) (1 - u^2) (-du) = 64 integralu(pi3)^u(0) (1 - u^2) , du
Calculando os novos limites para u:
Para theta = 0:
u = cos 0 = 1
Para theta = pi3:
u = cos pi3 = 12
Então, a integral fica:
64 integral12^1 (1 - u^2) , du

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
integral (1 - u^2) , du = integral 1 , du - integral u^2 , du = u - u^33 + C
Aplicando os limites de integração:
64 [ (u - u^33) g|12^1 ] = 64 [ (1 - 13) - (12 - (12)^33) ]
Simplificando:
= 64 [ (23) - (12 - 124) ] = 64 [ 23 - 1124 ]
Encontrando o comum denominador:
23 = 1624, 1624 - 1124 = 524
Então:
64 cdot 524 = 32024 = 403

Resposta

O valor da integral é 403.

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