Usando substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral definida usando substituição trigonométrica. A integral é:
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma raiz quadrada de uma expressão quadrática, o que sugere o uso de substituição trigonométrica. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte da integral que se encaixa na substituição trigonométrica. Observamos que temos , que se assemelha à forma . Para esse tipo de expressão, uma substituição comum é:
No nosso caso, , então vamos definir:
Passo 3
Com a substituição , precisamos encontrar em termos de . Diferenciando ambos os lados:
Também, substituindo na expressão :
Passo 4
Agora, substituímos e na integral original:
Simplificando a expressão:
Passo 5
Agora, precisamos determinar os novos limites de integração. Originalmente, varia de a . Usando a substituição :
Para :
Para :
Então, os novos limites são de a .
Passo 6
A integral agora fica:
Para resolver , usamos a identidade trigonométrica:
Então, a integral torna-se:
Passo 7
Vamos fazer uma substituição dentro dessa integral. Seja , então: