Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de extremos vinculados, utilizando o Método dos Multiplicadores de Lagrange. O que isso quer dizer? Basicamente, queremos encontrar os valores de e que minimizam ou maximizam a função , sujeita à restrição . Para isso, vamos precisar entender como aplicar os multiplicadores de Lagrange e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Isso envolve combinar a função que queremos otimizar ( ) com a restrição ( ) usando um multiplicador, que geralmente chamamos de . A função de Lagrange fica assim:
Aqui, é um número que ajusta a influência da restrição na otimização.

Passo 3

Agora, vamos achar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a , e , e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações que precisamos resolver.
Primeira derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :
Terceira derivada em relação a (a própria restrição):

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores de e que encontramos em termos de na equação da restrição:
Multiplicando e simplificando:
Resolvendo para :

Passo 5

Com o valor de encontrado, podemos substituir de volta para achar e :

Resposta

Os valores que minimizam a função sujeitos à restrição são:

Exercícios relacionados

Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.
Determine a menor distância da origem à hipérbole de equação cartesiana .
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(3)
Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre sua soma: