Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de extremos vinculados, utilizando o Método dos Multiplicadores de Lagrange. O que isso quer dizer? Basicamente, queremos encontrar os valores de
e
que minimizam ou maximizam a função
, sujeita à restrição
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar os multiplicadores de Lagrange e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Isso envolve combinar a função que queremos otimizar (
) com a restrição (
) usando um multiplicador, que geralmente chamamos de
. A função de Lagrange fica assim:
Aqui,
é um número que ajusta a influência da restrição na otimização.
Passo 3
Agora, vamos achar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a
,
e
, e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações que precisamos resolver.
Primeira derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Terceira derivada em relação a
(a própria restrição):
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores de
e
que encontramos em termos de
na equação da restrição:
Multiplicando e simplificando:
Resolvendo para
:
Passo 5
Com o valor de
encontrado, podemos substituir de volta para achar
e
:
Resposta
Os valores que minimizam a função
sujeitos à restrição
são:
Exercícios relacionados
Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.
Determine a menor distância da origem à hipérbole de equação cartesiana
.
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(3)
(3)
Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre sua soma: