Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre sua soma: sumn=0^infty 1(4 n+1)(4 n-3)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=0^infty 1(4n +1)(4n -3)
O objetivo aqui é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela soma um valor finito) ou diverge. Para isso, vamos usar uma técnica chamada soma telescópica, que ajuda a simplificar séries complexas quebrando os termos de uma maneira inteligente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
1(4n +1)(4n -3)
Vamos tentar escrever essa fração como uma soma de duas frações mais simples. Isso é conhecido como frações parciais. Queremos encontrar números 1(4n +1)(4n -3) = A4n +1 + B4n -3 e tais que:

Passo 3

Para encontrar 1 = A(4n -3) + B(4n +1) e , multiplicamos ambos os lados da equação por :
Agora, vamos resolver para e escolhendo valores de que simplifiquem a equação.

Passo 4

Escolha 1 = A(4(-14) -3) + B(0) tal que 1 = A(-1 -3):
Substituindo na equação:
1 = -4A Rightarrow A = -14
1 = A(0) + B(4(34) +1)
1 = B(3 +1)
Agora, escolha 1 = 4B Rightarrow B = 14 tal que :
Substituindo na equação:

Passo 5

Agora que temos 1(4n +1)(4n -3) = -14(4n +1) + 14(4n -3) e 14 ( 14n -3 - 14n +1 ), substituímos de volta na expressão original:
Podemos reescrever isso como:

Passo 6

Agora, vamos reescrever a série original usando essa expressão:
sumn=0^infty 1(4n +1)(4n -3) = 14 sumn=0^infty ( 14n -3 - 14n +1 )
Essa é a forma telescópica da série, onde muitos termos vão se cancelar.

Passo 7

Vamos escrever os primeiros termos para ver como ocorre o cancelamento:
Para 14(0) -3 - 14(0) +1 = 1-3 - 11:
14(1) -3 - 14(1) +1 = 11 - 15
Para 14(2) -3 - 14(2) +1 = 15 - 19:
Para :
E assim por diante…

Passo 8

Observamos que cada termo positivo cancela com um termo negativo do próximo par. Isso significa que, após alguns cancelamentos, só restam os termos das extremidades.
Portanto, a soma da série até um certo ponto 14 ( 1-3 - 14N +1 ) será:

Passo 9

Para encontrar a soma da série infinita, fazemos 14 ( 1-3 - 0 ) = -112 tendendo ao infinito. O termo tende a zero quando vai para infinito.
Então, a soma da série é:

Resposta

A série é convergente e sua soma é .

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