Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre sua soma:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Temos uma série infinita:
O objetivo aqui é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela soma um valor finito) ou diverge. Para isso, vamos usar uma técnica chamada soma telescópica, que ajuda a simplificar séries complexas quebrando os termos de uma maneira inteligente.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
Vamos tentar escrever essa fração como uma soma de duas frações mais simples. Isso é conhecido como frações parciais. Queremos encontrar números
e
tais que:
Passo 3
Para encontrar
e
, multiplicamos ambos os lados da equação por
:
Agora, vamos resolver para
e
escolhendo valores de
que simplifiquem a equação.
Passo 4
Escolha
tal que
:
Substituindo na equação:
Agora, escolha
tal que
:
Substituindo na equação:
Passo 5
Agora que temos
e
, substituímos de volta na expressão original:
Podemos reescrever isso como:
Passo 6
Agora, vamos reescrever a série original usando essa expressão:
Essa é a forma telescópica da série, onde muitos termos vão se cancelar.
Passo 7
Vamos escrever os primeiros termos para ver como ocorre o cancelamento:
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante…
Passo 8
Observamos que cada termo positivo cancela com um termo negativo do próximo par. Isso significa que, após alguns cancelamentos, só restam os termos das extremidades.
Portanto, a soma da série até um certo ponto
será:
Passo 9
Para encontrar a soma da série infinita, fazemos
tendendo ao infinito. O termo
tende a zero quando
vai para infinito.
Então, a soma da série é:
Resposta
A série é convergente e sua soma é
.
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(3)
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.
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(7)
(7)
Para cada uma das funções
abaixo, encontre os limites laterais
e
e forneça, caso exista, o valor de
:
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