Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre sua soma:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Temos uma série infinita:
O objetivo aqui é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela soma um valor finito) ou diverge. Para isso, vamos usar uma técnica chamada soma telescópica, que ajuda a simplificar séries complexas quebrando os termos de uma maneira inteligente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
Vamos tentar escrever essa fração como uma soma de duas frações mais simples. Isso é conhecido como frações parciais. Queremos encontrar números e tais que:

Passo 3

Para encontrar e , multiplicamos ambos os lados da equação por :
Agora, vamos resolver para e escolhendo valores de que simplifiquem a equação.

Passo 4

Escolha tal que :
Substituindo na equação:
Agora, escolha tal que :
Substituindo na equação:

Passo 5

Agora que temos e , substituímos de volta na expressão original:
Podemos reescrever isso como:

Passo 6

Agora, vamos reescrever a série original usando essa expressão:
Essa é a forma telescópica da série, onde muitos termos vão se cancelar.

Passo 7

Vamos escrever os primeiros termos para ver como ocorre o cancelamento:
Para :
Para :
Para :
E assim por diante…

Passo 8

Observamos que cada termo positivo cancela com um termo negativo do próximo par. Isso significa que, após alguns cancelamentos, só restam os termos das extremidades.
Portanto, a soma da série até um certo ponto será:

Passo 9

Para encontrar a soma da série infinita, fazemos tendendo ao infinito. O termo tende a zero quando vai para infinito.
Então, a soma da série é:

Resposta

A série é convergente e sua soma é .

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites, caso existam:
(3)
Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(7)
Para cada uma das funções abaixo, encontre os limites laterais e e forneça, caso exista, o valor de :
©